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Demi-plan
Un demi-plan est la région du plan délimitée par une droite. Une droite du plan le divise en deux demi-plans ouverts, auxquels on peut ajouter la droite elle-même pour obtenir des demi-plans fermés. En analyse complexe, le demi-plan de Poincaré (demi-plan supérieur) est l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive ; il est le modèle du plan hyperbolique. Les demi-plans sont des ensembles convexes simples et fondamentaux en géométrie.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer un demi-plan ouvert d'un demi-plan fermé.
- Tester l'appartenance d'un point avec une inégalité affine.
- Voir sur un exemple pourquoi un demi-plan est convexe.
- Situer le demi-plan supérieur de Poincaré sans confondre métriques hyperbolique et euclidienne.
En clair
Tracez une droite sur une feuille : elle sépare la surface en deux côtés. Chacun de ces côtés est un demi-plan ouvert. La droite forme leur frontière, mais elle n'appartient à aucun des deux.
Si l'on rattache la droite à l'un des côtés, on obtient un demi-plan fermé. Dans un repère, l'axe horizontal délimite ainsi la zone située au-dessus et celle située au-dessous. Cette séparation se poursuit sans fin dans toutes les directions.
Définition
Dans un plan, une droite partage son complémentaire en deux régions connexes : ce sont les deux demi-plans ouverts délimités par cette droite. Leur frontière commune est la droite. En ajoutant cette frontière à l'une des deux régions, on obtient le demi-plan fermé correspondant. Les deux demi-plans fermés se rencontrent donc exactement sur leur droite frontière.
Dans un repère, soient a et b deux nombres réels qui ne sont pas nuls simultanément, et c un nombre réel. La droite frontière est l'ensemble des points de coordonnées x et y qui vérifient :
Les inégalités strictes et décrivent les deux demi-plans ouverts. En remplaçant le signe strict par ≥ ou ≤, on inclut la frontière et l'on décrit les demi-plans fermés.
Un demi-plan est convexe : le segment joignant deux de ses points reste entièrement dans le même demi-plan. Dans le plan complexe, le demi-plan supérieur réunit les nombres complexes dont la partie imaginaire est strictement positive. Sous le nom de demi-plan de Poincaré, cette même région sert de modèle au plan hyperbolique, avec une géométrie qui n'est pas la géométrie euclidienne ordinaire.
De quoi c'est fait
Un demi-plan fait intervenir quatre éléments. Le plan ambiant est la surface entière. La droite frontière le sépare en deux côtés. Le côté choisi détermine lequel des deux demi-plans on considère. Enfin, le statut de la frontière précise si le demi-plan est ouvert, sans la droite, ou fermé, avec elle.
La frontière seule ne sélectionne aucun côté : une inégalité ou un point témoin doit le faire. Inversement, le signe ≥ ou ≤ relie le côté choisi à l'inclusion de la droite. L'épaisseur du trait, la couleur et l'échelle du dessin ne définissent rien. Ces données suffisent à construire le demi-plan et à décider, par le signe d'une expression affine, si un point est dedans, dehors ou sur la frontière.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère, on note y l'ordonnée. La droite frontière est l'axe horizontal, d'équation y = 0. On considère le demi-plan fermé supérieur y ≥ 0 et quatre points : A(2 ; 1), B(−2 ; 3), C(1 ; 0) et D(0 ; −2).
1. Pour A, l'ordonnée vaut 1. Comme 1 ≥ 0, A appartient au demi-plan fermé supérieur et même à sa partie ouverte.
2. Pour C, l'ordonnée vaut 0. Le point est sur la frontière : il appartient au demi-plan fermé, mais pas au demi-plan ouvert y > 0.
3. Pour D, l'ordonnée vaut −2. Comme −2 est inférieur à 0, D est hors du demi-plan supérieur et dans le demi-plan ouvert inférieur.
4. A et B sont dans le demi-plan supérieur. Leur milieu M a pour coordonnées :
Son ordonnée est positive. Plus généralement, chaque point du segment [AB] a une ordonnée comprise entre 1 et 3 : le segment reste dans le demi-plan, ce qui contrôle sa convexité.
En pratique
Pour résoudre une inégalité linéaire à deux inconnues, on trace d'abord la droite obtenue avec l'égalité. Un point témoin indique ensuite quel côté convient. Une inégalité stricte impose un demi-plan ouvert ; une inégalité large impose un demi-plan fermé.
En géométrie algorithmique, le signe de l'expression affine associée à une droite classe un point. Si ce signe est positif, négatif ou nul, le point se trouve respectivement d'un côté, de l'autre ou sur la frontière. Ce test évite de se fier à l'apparence du dessin.
En optimisation linéaire, chaque contrainte affine découpe un demi-plan fermé, et les solutions admissibles sont leur intersection. Si une contrainte exige une inégalité stricte, la frontière correspondante est retirée et l'existence d'un optimum doit être réexaminée.
Pour étudier le plan hyperbolique, le demi-plan de Poincaré donne une géométrie à la région complexe de partie imaginaire positive. Pour classer seulement des points par rapport à une droite, le demi-plan euclidien ordinaire suffit : le critère observable est alors le signe d'une expression affine.
À ne pas confondre
Un demi-plan n'est pas une demi-droite. Le premier est une région à deux dimensions bordée par une droite ; la seconde est une partie d'une droite, issue d'un point et prolongée dans un seul sens. Un point hors de la droite peut appartenir à un demi-plan, jamais à une demi-droite portée par cette droite.
Un demi-plan n'est pas une bande. Une bande est comprise entre deux droites parallèles et possède deux frontières ; un demi-plan n'a qu'une droite frontière et s'étend sans seconde limite du côté choisi.
Un demi-plan n'est pas un demi-espace de dimension trois. Une droite sépare un plan en demi-plans, tandis qu'un plan sépare l'espace usuel en demi-espaces. Le type de frontière permet de trancher immédiatement.
Limites et pièges
Dire seulement « le demi-plan délimité par une droite » ne choisit pas un côté : il en existe deux. Il faut ajouter une inégalité, comme y > 0, ou désigner un point témoin situé dans la région voulue.
Le signe strict est décisif au seuil 0. Pour y > 0, un point d'ordonnée nulle est exclu ; pour y ≥ 0, il est inclus. Un trait plein ou pointillé peut rappeler cette convention, mais seule l'inégalité la fixe sans ambiguïté.
Dans l'écriture ax + by + c, les coefficients a et b ne peuvent pas être nuls tous les deux. Sinon, l'équation ne définit aucune droite frontière et l'inégalité décrit soit tout le plan, soit l'ensemble vide.
Le demi-plan supérieur de Poincaré a le même ensemble de points que la région complexe de partie imaginaire positive, mais pas les mêmes distances que le plan euclidien. Il faut donc préciser la métrique avant d'interpréter les longueurs ou les géodésiques.
Pour aller plus loin
Le concept de convexité explique pourquoi tout segment joignant deux points d'un demi-plan y reste entièrement.
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