inversion - application -

Un point M placé à 2 cm d’un point O peut avoir pour image un point M′ situé à 8 cm de O. Les deux distances se compensent : leur produit reste égal à 16 cm².

Cette transformation est une inversion géométrique. Les points proches du pôle O sont envoyés loin, et les points lointains reviennent près de O. Avec une puissance positive, le point et son image restent sur le même rayon issu de O ; avec une puissance négative, ils occupent des côtés opposés.

Dans un plan euclidien, une inversion est déterminée par un point O, appelé pôle, et par un nombre réel non nul k, appelé puissance. Pour tout point M distinct de O, son image M′ appartient à la droite passant par O et M. Les vecteurs de O vers M et de O vers M′ vérifient $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{O{M}^{\mathrm{\prime }}}=k\backslash overrightarrow\{OM\}\backslash cdot\backslash overrightarrow\{OM\text{'}\}=k$. Ces deux conditions déterminent un unique point M′.

Si k est positif, M et M′ sont sur la même demi-droite issue de O. Si k est négatif, ils sont sur des demi-droites opposées. En notant OM et OM′ leurs distances au pôle, on obtient dans les deux cas $OMO{M}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }OM\backslash ,OM\text{'}=|k|$. Le pôle O lui-même n’a pas d’image, puisque M doit être distinct de O.

Une droite ne passant pas par O devient un cercle passant par O, tandis qu’un cercle passant par O devient une droite. Une droite passant par O reste une droite, et un cercle ne passant pas par O reste un cercle. L’inversion conserve les angles entre courbes : elle est conforme. Elle ne conserve généralement pas les distances, donc ce n’est pas une isométrie. La même définition s’étend à un espace euclidien muni d’un produit scalaire.

Cinq éléments interviennent. Le pôle O sert d’origine aux distances. La puissance k, nécessairement non nulle, fixe leur produit et le côté où se trouve l’image. Le point M est la donnée à transformer. La droite (OM) impose l’alignement. Enfin, le point M′ est le résultat construit.

La position de M′ dépend à la fois de la distance OM et de la valeur de k : sa distance au pôle vaut $O{M}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{OM}OM\text{'}=\backslash frac\{|k|\}\{OM\}$. Le signe de k décide ensuite entre la même demi-droite et la demi-droite opposée. Le choix d’une couleur, d’une orientation de page ou d’une échelle de dessin ne définit pas l’inversion. Les données O, k et M suffisent, elles, à déterminer M′.

On considère une inversion de pôle O et de puissance positive k égale à 16 cm². Le point M se trouve sur une demi-droite issue de O, à la distance OM égale à 2 cm. On cherche son image M′ et l’on repère aussi le cercle des points qui restent à leur place.

1. Comme k est positif, M′ se place sur la même demi-droite que M.
2. La relation des distances donne $2\mathrm{c}\mathrm{m}\times O{M}^{\mathrm{\prime }}=16{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}2\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}\backslash times\; OM\text{'}=16\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$.
3. La division par 2 fournit $O{M}^{\mathrm{\prime }}=8\mathrm{c}\mathrm{m}OM\text{'}=8\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$.
4. Une distance inchangée vérifie $O{M}^2=16{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}OM^2=16\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}^2$, soit OM égale à 4 cm.

Une représentation à l’échelle montre le pôle, le point M à l’intérieur du cercle de rayon 4 cm et son image M′ à l’extérieur. Elle rend visible l’échange entre les distances 2 cm et 8 cm.

Le résultat est donc M′ à 8 cm de O. Le contrôle se refait directement : 2 cm × 8 cm = 16 cm². Un point situé à 4 cm de O resterait fixe, car 4 cm × 4 cm donne aussi 16 cm².

Pour transformer un point, on trace d’abord la droite qui le relie au pôle. La distance de l’image se calcule par le quotient |k|/OM, puis le signe de k indique le côté. Une construction point par point convient lorsque la figure ne se réduit pas à des droites et des cercles.

Pour une figure faite de droites et de cercles, on exploite directement leur comportement sous inversion. Le passage droite-cercle est préférable au placement de nombreux points lorsque le tracé passe par O ou l’évite sans ambiguïté.

Dans un problème où les angles comptent davantage que les longueurs, la conformité rend l’inversion utile. Si les distances doivent rester inchangées, une isométrie est l’alternative adaptée, car l’inversion déforme généralement les longueurs.

Une isométrie. Une isométrie conserve toutes les distances entre points. L’inversion conserve les angles, mais la distance au pôle devient inversement proportionnelle à la distance de départ. Dans l’exemple, 2 cm devient 8 cm : ce seul calcul exclut une isométrie.

Les autres sens du mot « inversion ». En algèbre ou en théorie des ordres, le terme qualifie des notions distinctes. Le critère décisif est la présence d’un pôle O, d’une puissance k non nulle et de la relation entre M et M′. Sans ces données géométriques, il ne s’agit pas de l’inversion décrite ici.

Le pôle n’est jamais transformé. Si M coïncide avec O, le vecteur de départ est nul et son produit scalaire avec tout vecteur vaut zéro, jamais la puissance k non nulle. Il faut donc retirer O du domaine de l’inversion.

La puissance zéro est exclue. À k = 0, la règle ne définit plus l’inversion annoncée. Le symptôme est la disparition de la contrainte réciproque sur les distances ; il faut employer une autre transformation et ne pas parler d’inversion de puissance nulle.

Le passage cercle-droite dépend du pôle. Tous les cercles ne deviennent pas des droites. Seuls les cercles passant par O ont une droite pour image ; un cercle qui évite O reste un cercle. Le bon réflexe consiste à tester l’appartenance de O avant d’annoncer la nature de l’image.

Le signe ne change pas seulement une longueur. Le calcul avec |k| donne la distance OM′, mais il ne donne pas le côté. Pour k < 0, M′ doit être placé de l’autre côté de O ; pour k > 0, il reste du même côté.

L’inversion est une involution : appliquer une seconde fois la même inversion ramène M′ au point M, car la nouvelle distance au pôle vaut $\frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{O{M}^{\mathrm{\prime }}}=OM\backslash frac\{|k|\}\{OM\text{'}\}=OM$ et le signe replace le point sur la demi-droite initiale.

Lorsque k est positif, les points du cercle de centre O et de rayon $\sqrt{k}\backslash sqrt\{k\}$ sont fixes. Lorsque k est négatif, aucun point n’est fixe, puisque chaque image se trouve sur la demi-droite opposée. Dans l’espace euclidien, le même mécanisme part du pôle et de la puissance, avec des points situés sur une même droite.