inverseur de Peaucellier

Imaginez plusieurs règles rigides reliées par des pivots. Quand un point du montage suit un cercle, un autre point est obligé de glisser sur une droite parfaite. Les règles ne s'allongent pas : c'est leur assemblage qui impose ce trajet.

L'inverseur de Peaucellier accomplit aussi le mouvement inverse. Si l'on guide le point rectiligne, son point associé parcourt le cercle. Cette réversibilité explique son nom d'« inverseur ».

L'inverseur de Peaucellier est un assemblage plan de huit barres rigides articulées. Dans sa cellule centrale, quatre barres égales forment un losange déformable. Deux autres barres égales relient deux sommets opposés de ce losange au point fixe O, appelé pôle. Les deux liaisons restantes guident l'un des sommets sur un cercle passant par O. Une vue documentaire du montage permet de reconnaître ces barres, leurs pivots et les deux points traceurs.

On note M le sommet guidé et M' le sommet opposé. Ces points restent alignés avec O. Si les deux barres issues de O ont pour longueur a et les côtés du losange pour longueur b, avec a > b, la géométrie impose une constante positive : $OMO{M}^{\mathrm{\prime }}=a^2-b^{2}OM\backslash ,OM\text{'}=a^2-b^2$. M et M' sont donc inverses par rapport au cercle de centre O dont le rayon au carré vaut a² − b².

L'inversion transforme un cercle passant par O, privé de O, en une droite qui ne passe pas par O. Le mécanisme matérialise cette correspondance : contraindre M sur le cercle force M' sur la droite, et guider M' sur cette droite force M sur le cercle.

Prenons O comme origine. Les barres issues de O mesurent a = 5 unités et les quatre côtés du losange b = 3 unités. Le point M est guidé sur le cercle de centre Q = (4 ; 0) et de rayon 4, qui passe par O.

1. La constante d'inversion vaut a² − b² = 5² − 3² = 16.

2. Choisissons M = (4 ; 4). Ce point appartient au cercle, car sa distance à Q vaut 4. Sa distance à O vaut OM = 4√2.

3. Le point M' est sur la demi-droite OM et vérifie OM × OM' = 16. On obtient OM' = 16/(4√2) = 2√2, soit M' = (2 ; 2).

4. Plus généralement, un point M = (x ; y) du cercle vérifie x² + y² = 8x. Son inverse a pour abscisse $x^{\mathrm{\prime }}=\frac{16x}{x^2+y^2}=2x\text{'}=\backslash frac\{16x\}\{x^2+y^2\}=2$ : M' reste donc sur la droite x = 2.

Le contrôle est immédiat pour la position choisie : OM × OM' = (4√2)(2√2) = 16, et l'abscisse de M' vaut bien 2. La construction géométrique rend simultanément visibles le cercle, le mécanisme articulé et la droite obtenue.

Dans une machine à vapeur, le piston doit se déplacer suivant son axe. L'inverseur fournit un guidage rectiligne exact à partir d'une commande circulaire ; on le préfère à un guidage approché lorsque l'écart géométrique doit disparaître dans le modèle idéal.

Pour étudier une inversion géométrique, le montage remplace une construction abstraite par des longueurs fixes et des pivots. On suit un point, puis on vérifie que le produit de ses distances au pôle reste constant.

Le mécanisme est réversible. Dans une configuration dimensionnée pour cette transformation et pendant le mouvement admissible du modèle idéal, entraîner le point guidé sur son cercle impose au point associé un trajet rectiligne exact ; guider ce dernier sur cette droite impose en retour le parcours circulaire associé.

Avec le guidage de Watt. Celui-ci fournit un trajet seulement approché par une droite. Le critère qui tranche est global : dans l'inverseur de Peaucellier idéal, le point traceur reste exactement sur une même droite pendant tout le mouvement admissible.

Avec l'inversion géométrique seule. L'inversion est une transformation géométrique définie par une relation entre points. L'inverseur de Peaucellier est le mécanisme articulé qui réalise matériellement cette relation. Une formule sans barres ni pivots décrit la transformation, pas la machine.

Au pôle. Si M atteint O, le produit OM × OM' ne peut rester égal à une constante positive avec un point M' à distance finie. Le cercle doit donc être considéré sans son point O ; celui-ci correspond à une direction à l'infini sur la droite.

Constante non positive. La relation utilisée suppose a > b. Si a = b, la constante a² − b² vaut 0 et l'inversion non dégénérée disparaît. Il faut choisir des barres issues de O plus longues que les côtés du losange.

Modèle idéal et objet réel. L'exactitude est géométrique lorsque les barres sont rigides et les pivots sans jeu. Dans un montage matériel, jeu, flexion ou usure peuvent écarter le point de la droite ; il faut alors contrôler ces défauts plutôt que conclure que l'identité géométrique est fausse.

L'article transformation géométrique replace l'inversion parmi les opérations qui associent des points et permet de distinguer la relation mathématique du dispositif mécanique qui la réalise.