AnalyseThéorème · Glossaire
théorème de Kempe
Le théorème de Kempe affirme que toute courbe algébrique, ou toute portion de celle-ci, peut être tracée par un système articulé, et que toute courbe tracée par un tel système est algébrique. Ce système est un assemblage fini de tiges rectilignes rigides reliées entre elles ou à des points fixes uniquement par des pivots : le théorème caractérise ainsi exactement les courbes accessibles à ces mécanismes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux directions du théorème de Kempe.
- Reconnaître les liaisons mécaniques admises par son énoncé.
- Vérifier sur un bras de 4 cm que la trajectoire circulaire est algébrique.
- Comprendre pourquoi une courbe transcendante exige un autre dispositif.
En clair
Imaginez des tiges rigides reliées par des pivots, comme un compas auquel on ajouterait plusieurs bras. Quand le mécanisme bouge, un point choisi dessine une trajectoire. Le théorème de Kempe relie la forme de cette trajectoire à une famille précise : les courbes algébriques.
Le résultat fonctionne dans les deux sens. Une courbe algébrique peut être tracée par un assemblage adapté, parfois très compliqué. Réciproquement, un assemblage de ce type ne peut pas produire une courbe transcendante.
Définition
Le théorème de Kempe est un résultat sur les trajectoires produites par un système articulé. Un tel système est un assemblage fini de tiges rectilignes rigides. Les tiges sont reliées entre elles, ou à des points fixes, uniquement par des liaisons rotoïdes, c’est-à-dire des pivots autour desquels elles peuvent tourner. Les roulements, les glissières et les autres types de liaison mécanique sont exclus.
Le résultat énoncé en 1875 par Alfred Bray Kempe comporte deux directions complémentaires. Pour toute courbe algébrique donnée, ou pour toute portion de cette courbe, il existe un système articulé dont un point trace la forme voulue. Inversement, toute courbe obtenue comme trajectoire d’un point d’un tel système est algébrique.
L’existence du mécanisme ne garantit pas sa simplicité : certaines courbes exigent un assemblage d’une grande complexité. La restriction aux courbes algébriques écarte les courbes transcendantes citées dans la définition source, notamment la spirale et la cycloïde.
Le principe
Si une courbe est algébrique, alors il existe un assemblage fini de tiges rectilignes rigides, jointes seulement par des pivots entre elles ou à des points fixes, dont un point trace cette courbe ou une portion choisie. Réciproquement, si une trajectoire est tracée par un système articulé respectant ces conditions, alors cette trajectoire est une courbe algébrique.
Quand l'utiliser
Le résultat porte sur une courbe algébrique donnée, ou sur une portion déterminée de cette courbe. Le mécanisme admissible doit comporter un nombre fini de tiges rectilignes et rigides. Ses seules liaisons sont des pivots reliant deux tiges ou attachant une tige à un point fixe. Enfin, un point du mécanisme doit être choisi comme point traceur.
Une glissière ou un roulement fait sortir l’assemblage du cadre annoncé : le théorème ne permet alors plus de conclure à partir de ce mécanisme. De même, si la trajectoire visée est transcendante, comme la cycloïde citée dans la source, il faut employer un autre dispositif que ce système de tiges et de pivots.
Un exemple, pas à pas
On considère le système articulé le plus simple de la fiche. Les données sont les suivantes : un point fixe O, une tige rigide de 4 cm et son extrémité libre P, choisie comme point traceur. La tige est reliée à O par un pivot.
1. Pendant la rotation, la rigidité de la tige impose que la distance OP reste égale à 4 cm.
2. On place l’origine du repère en O. Les coordonnées du point P sont notées x et y, en centimètres. Le théorème de Pythagore donne alors :
3. Cette équation est polynomiale : la trajectoire est donc le cercle algébrique de centre O et de rayon 4 cm. Le schéma matérialise la distance constante qui produit ce cercle.
4. Le contrôle se refait aux points situés sur les axes. Pour P de coordonnées (4 ; 0), puis (0 ; 4), on obtient chaque fois x² + y² = 16.
En pratique
Pour concevoir un traceur mécanique, on commence par déterminer si la courbe visée est algébrique. Si elle l’est, le théorème garantit l’existence d’un assemblage de tiges et de pivots, mais pas celle d’un montage court ou commode.
Pour analyser un mécanisme déjà construit, on repère un point mobile et sa trajectoire. Lorsque le montage n’emploie qu’un nombre fini de tiges rigides et de pivots, le résultat annonce une trajectoire algébrique.
Si le dessin demandé est une courbe transcendante, on change de famille de dispositifs. L’apparition d’une glissière ou d’un roulement signale également que le mécanisme n’est plus celui auquel s’applique le théorème.
À ne pas confondre
Une courbe algébrique n’est pas nécessairement le graphe d’une fonction polynomiale. Le cercle de l’exemple est défini par l’équation polynomiale x² + y² = 16, mais une droite verticale le coupe en deux points : il ne forme donc pas le graphe d’une fonction de x sur tout son contour.
Un système articulé au sens du théorème n’est pas n’importe quelle machine mobile. Le critère décisif est la présence exclusive d’un nombre fini de tiges rectilignes rigides et de liaisons rotoïdes. Un montage muni d’une glissière appartient à un cadre mécanique différent.
Limites et pièges
Le théorème affirme une existence, pas une efficacité. Pour certaines courbes algébriques, le symptôme est un assemblage d’une grande complexité. Il faut alors distinguer la possibilité mathématique de tracer la courbe de l’intérêt pratique du mécanisme obtenu.
La conclusion dépend exactement du modèle annoncé. Dès qu’une liaison autre qu’un pivot intervient, par exemple une glissière, le montage sort du domaine du théorème. Il faut analyser ce dispositif avec les propriétés propres à ses liaisons.
Une trajectoire transcendante constitue une obstruction, et non un mécanisme simplement plus difficile à construire. La spirale et la cycloïde données par la source ne peuvent pas être tracées par le système articulé défini ici ; il faut changer de dispositif.
Pour aller plus loin
La fiche courbe algébrique précise la famille de trajectoires visée par le théorème. La fiche cycloïde présente un contre-cas transcendant cité dans la définition source. L’article Curva ex machina prolonge l’exploration des liens entre courbes et mécanismes.
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