translateur

Imaginez un crayon qui suit une courbe dessinée sur une feuille. Un second crayon, fixé au même mécanisme articulé, avance en gardant toujours le même déplacement horizontal et vertical. Il dessine donc la même forme, mais ailleurs sur la feuille. Ce dispositif est un translateur de Kempe : il rend visible une translation, c'est-à-dire un déplacement qui ne tourne ni ne déforme la courbe. Le premier point guide le mouvement et le second en reçoit la copie décalée.

Un translateur de Kempe est un mécanisme articulé qui réalise géométriquement une translation de courbe. Un point de référence A parcourt une courbe donnée, tandis qu'un point suiveur B, solidaire de l'assemblage, parcourt une copie de cette courbe. Les liaisons de l'assemblage contraignent le segment AB à rester parallèle à lui-même et de longueur constante pendant le mouvement : c'est cette contrainte qui conserve le même déplacement entre les deux points, dans la limite du parcours des articulations. Si le vecteur fixe de translation est noté v, la relation entre les positions des deux points s'écrit :

Le vecteur v conserve la même direction, le même sens et la même longueur pendant le mouvement. Ainsi, chaque position de B est obtenue en ajoutant le même vecteur à la position correspondante de A. La courbe obtenue a donc la même forme et la même orientation que la courbe de référence ; seule sa position change. Cette description suppose que les articulations restent dans leur domaine de mouvement et que le point suiveur est bien contraint par le mécanisme.

Prenons comme courbe de référence la parabole d'équation y = x². Le point A la parcourt dans un repère gradué, et le translateur impose au point B le vecteur fixe v = (3, 1).

Les données sont les suivantes : la position de A est (x, x²) ; le déplacement horizontal vaut 3 unités ; le déplacement vertical vaut 1 unité.

Pour une position de A d'abscisse x, l'abscisse de B vaut x + 3.
Son ordonnée vaut x² + 1.
En posant X = x + 3, on obtient x = X − 3.
La courbe de B vérifie donc y = (X − 3)² + 1.
Par exemple, A = (2, 4) donne B = (5, 5).

Le contrôle est immédiat : B − A = (5 − 2, 5 − 4) = (3, 1), exactement le vecteur annoncé. La parabole suiveuse est ainsi la même courbe, déplacée de trois unités vers la droite et d'une unité vers le haut.

Dans une démonstration de géométrie, le translateur sert à matérialiser une translation sans redessiner chaque point. Le geste consiste à faire parcourir la courbe de référence au point guide et à recueillir la trace du point suiveur.

Pour étudier une courbe donnée, on peut aussi construire sa translatée par coordonnées. Le calcul est préférable au dispositif lorsque l'on cherche une équation ou une grande précision numérique ; le mécanisme est parlant lorsque l'on veut voir la transformation.

L'appareil rappelle enfin qu'une transformation géométrique peut être réalisée par une relation entre deux points. Il ne remplace pas une définition : le déplacement doit rester constant pour que la trace corresponde bien à une translation.

Le translateur ne se confond pas avec une simple règle mobile. Une règle peut reporter un segment entre deux positions, mais elle ne contraint pas nécessairement un point à suivre une courbe pendant que la longueur et la direction du déplacement restent fixes.

Il ne faut pas non plus le confondre avec une rotation. Dans une translation, le vecteur entre les points correspondants reste constant et la courbe conserve son orientation. Une rotation change l'orientation autour d'un centre ; le segment reliant deux positions correspondantes ne garde alors pas, en général, une direction fixe.

Le résultat idéal dépend du domaine de mouvement des articulations. Si une liaison arrive en butée, le point suiveur peut s'arrêter ou quitter la trajectoire prévue : la translation n'est alors plus réalisée sur cette portion. Il faut réduire le parcours ou modifier la configuration du mécanisme.

Un autre piège vient d'un déplacement seulement approximatif. Un jeu mécanique, une flexion ou un mauvais réglage peut faire varier le vecteur entre A et B. Le symptôme est une copie légèrement déformée ou progressivement décalée ; il faut vérifier plusieurs positions, et non une seule.

Enfin, une translation ne change pas la forme de la courbe, mais elle peut la déplacer hors de la feuille ou du domaine observé. Pour la parabole y = x² translatée par (3, 1), le sommet passe de (0, 0) à (3, 1) ; cette vérification ne suffit toutefois pas à garantir toute la trajectoire.

La translation formalise le déplacement que le translateur matérialise : elle permet de généraliser le même raisonnement à des points, des figures et des courbes sans dépendre d'un mécanisme particulier.

L'article La géométrie des courbes élargit le regard aux courbes comme objets géométriques, ce qui aide à situer la trace produite par un instrument parmi d'autres transformations.