cercles de Soddy

Imaginez trois pièces rondes posées à plat, chacune touchant les deux autres. Un petit vide courbe subsiste entre elles : un cercle peut s'y loger en touchant les trois pièces.

Un second cercle touche aussi les trois, mais il les enveloppe. Ces deux solutions sont les cercles de Soddy. Leurs rayons ne se devinent pas à l'œil : ils se calculent à partir des rayons des trois cercles initiaux.

On se place dans une configuration de trois cercles dont les disques intérieurs sont disjoints, qui sont tangents extérieurement deux à deux et qui admettent une solution de tangence englobante. Leurs cercles de Soddy sont les deux cercles qui sont chacun tangents aux trois cercles initiaux. Le cercle intérieur occupe l'interstice compris entre eux. Le cercle extérieur entoure les trois autres et leur est tangent intérieurement.

La courbure géométrique d'un cercle de rayon r vaut 1/r et est positive. Pour appliquer le théorème de Descartes dans cette configuration, on utilise une courbure orientée : elle vaut 1/r pour les trois cercles initiaux et le cercle de l'interstice, et −1/r pour le cercle englobant. Notons k₁, k₂ et k₃ les courbures orientées des trois cercles donnés, puis k₄ celle d'un cercle cherché. Le théorème de Descartes impose la relation suivante.

Cette équation du second degré donne les deux solutions. Avec la convention des courbures orientées, les trois cercles initiaux et le cercle intérieur ont une courbure positive. Le cercle extérieur a une courbure négative parce qu'il contient les trois autres ; son rayon géométrique est l'inverse de la valeur absolue de cette courbure.

Prenons trois cercles de rayon 1, tangents extérieurement deux à deux. Leurs centres forment un triangle équilatéral de côté 2. Les données sont donc trois rayons égaux à 1 et trois courbures k₁ = k₂ = k₃ = 1.

1. En remplaçant les trois premières courbures par 1 dans la relation de Descartes, on obtient une équation en k₄, puis ses deux racines.

2. La racine positive 3 + 2√3 correspond au cercle intérieur. Son rayon exact vaut $\frac{1}{3+2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\backslash frac\{1\}\{3+2\backslash sqrt\{3\}\}=\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}-3\}\{3\}$, soit environ 0,155.

3. La racine 3 − 2√3 est négative. Elle correspond au cercle extérieur orienté ; son rayon géométrique vaut $\frac{1}{2\sqrt{3}-3}=1+\frac{2\sqrt{3}}{3}\backslash frac\{1\}\{2\backslash sqrt\{3\}-3\}=1+\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}$, soit environ 2,155.

4. Un contrôle exact pour la racine positive consiste à comparer les deux membres : ils valent tous deux 48 + 24√3. La symétrie place aussi les deux cercles de Soddy au centre du triangle formé par les trois centres.

Lorsque les rayons de trois cercles mutuellement tangents sont connus, la relation de Descartes donne directement les deux courbures possibles. Le signe distingue alors le petit cercle de l'interstice du cercle qui enveloppe les trois autres.

Pour construire un empilement de cercles, on peut répéter le calcul dans chaque interstice bordé par trois cercles tangents. Il faut retenir la solution qui correspond géométriquement à l'interstice visé et qui est distincte du cercle déjà connu ou remplacé, en tenant compte des courbures orientées : le seul critère d'une racine positive ne suffit pas toujours.

La formule calcule des rayons, pas les centres. Si la position exacte du nouveau cercle est recherchée, il faut compléter le calcul par les trois conditions de distance entre centres imposées par les tangences.

Cercles de Soddy et théorème de Descartes. Les premiers sont les deux cercles solutions d'un problème de tangence. Le théorème de Descartes est la relation entre quatre courbures qui sert à calculer ces solutions.

Cercles de Soddy et empilement de cercles. Un empilement est un ensemble qui peut contenir de nombreux cercles tangents. Les cercles de Soddy sont seulement les deux solutions associées à un triplet donné de cercles mutuellement tangents.

Oublier le signe du cercle extérieur. Si toutes les courbures sont remplacées par les inverses positives des rayons, la racine négative semble impossible. Il faut employer une courbure orientée négative pour le cercle qui contient les trois autres, puis prendre sa valeur absolue pour retrouver le rayon.

Appliquer la formule sans les tangences requises. Trois rayons quelconques ne suffisent pas : les trois cercles donnés doivent être tangents deux à deux. Si un espace subsiste ou si deux cercles se coupent, les deux racines obtenues ne décrivent pas les cercles annoncés.

Confondre valeur exacte et arrondi. Dans l'exemple de rayon 1, le rayon intérieur est exactement $\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\backslash frac\{2\backslash sqrt\{3\}-3\}\{3\}$ ; 0,155 n'est qu'un arrondi au millième. Un contrôle dans l'équation doit garder l'expression exacte ou accepter l'écart d'arrondi.

Théorème de Descartes. Cette fiche approfondit la relation quadratique qui relie les courbures de quatre cercles mutuellement tangents.

Des cercles touchants. Cet article prolonge l'exploration des configurations de cercles en contact.