GéométrieThéorème · Glossaire
Six cercles (théorème des)
Le théorème des six cercles est un résultat de géométrie plane concernant une chaîne de cercles tangents dans les angles d'un même triangle. Étant donné un triangle et un cercle intérieur à l'un de ses angles, on peut construire, lorsque les cinq étapes successives restent admissibles, une chaîne de six cercles : chacun est tangent aux deux côtés ou segments concernés de son angle et au cercle précédent. Le théorème affirme que le sixième cercle est tangent au premier, sans se confondre avec lui, créant ainsi une configuration fermée. Ce résultat est lié au théorème de fermeture de Poncelet et à la géométrie des cercles tangents.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Suivre l’ordre des six cercles dans les trois angles d’un triangle.
- Identifier les hypothèses qui rendent la tangence finale automatique.
- Vérifier la fermeture sur un triangle équilatéral de côté 12.
- Distinguer fermeture par tangence, coïncidence et cocyclicité.
En clair
Imaginez un triangle et un petit cercle intérieur, calé dans un de ses angles. Si le rayon choisi permet les étapes suivantes, placez dans l’angle voisin un nouveau cercle intérieur qui touche les deux côtés ou segments concernés et le cercle précédent. Continuez ainsi en faisant le tour des trois sommets, deux fois.
Le résultat surprenant est une fermeture : après six placements, le dernier cercle vient toucher le cercle de départ. La taille des cercles peut varier, mais les contraintes de tangence se transmettent autour du triangle.
Définition
Le théorème des six cercles porte sur une chaîne de cercles construite dans un triangle non dégénéré, dans une configuration admissible. Le premier cercle est intérieur à l’angle considéré et tangent aux deux côtés ou segments concernés. Le suivant est intérieur à l’angle du sommet voisin, tangent à ses deux côtés ou segments concernés et tangent extérieurement au cercle précédent. La même règle est répétée en parcourant cycliquement les trois sommets, puis une seconde fois, à condition que chaque étape existe.
Après six cercles admissibles, la chaîne se ferme : le sixième cercle est tangent au premier. Cette tangence finale n’est pas une condition ajoutée au moment de construire le dernier cercle ; elle est la conclusion du théorème à partir des cinq tangences successives dans la configuration prévue. Les six cercles ne sont pas nécessairement de même rayon.
Dans cette formulation, « fermeture » ne signifie pas que le sixième cercle se confond avec le premier. Les deux occupent en général des angles différents et sont simplement tangents. La configuration appartient à la géométrie des cercles tangents et se rattache au principe de fermeture de Poncelet.
Le principe
Si, dans un triangle non dégénéré, six cercles intérieurs aux angles correspondants existent successivement aux sommets dans l’ordre A, B, C, A, B, C, si chacun est tangent aux deux branches ou segments concernés de son angle et si chaque cercle après le premier est tangent extérieurement au précédent, alors le sixième cercle est aussi tangent au premier. La chaîne est donc fermée sans imposer cette dernière tangence.
Quand l'utiliser
La construction demande un triangle non aplati et un cercle initial intérieur à un angle, tangent aux deux branches ou segments concernés. Les sommets doivent ensuite être visités dans le même ordre cyclique. À chaque étape, on retient, lorsque cette configuration existe, le cercle intérieur à l’angle qui est tangent extérieurement au précédent ; ce choix fixe le rayon suivant. La tangence initiale ne suffit donc pas à garantir l’existence de toute la chaîne : chaque rayon doit rester admissible pour l’étape suivante.
Si l’on saute un sommet, si l’on inverse l’ordre en cours de chaîne ou si l’on choisit une autre branche de tangence, les hypothèses ne sont plus celles du théorème. La tangence finale n’est alors pas garantie. Il faut reprendre la construction en conservant l’ordre A, B, C, A, B, C, le même type de tangence et l’admissibilité de chaque cercle dans l’angle et sur les côtés concernés.
Un exemple, pas à pas
Prenons un triangle équilatéral de côté 12. Le cercle 1 est placé au sommet A avec un rayon égal à 1,5. Les cercles suivants occupent successivement B, C, A, B et C. La figure matérialise cette alternance et la tangence qui ferme la chaîne.
1. Pour deux cercles consécutifs de rayons ri et ri+1, la tangence le long du côté commun donne la relation suivante : .
2. Avec r1 = 1,5, cette relation donne r2 ≈ 2,984890. Le rayon est arrondi à six décimales pour l’affichage.
3. En appliquant la même relation autour du triangle, les rayons affichés alternent approximativement : 1,5 ; environ 2,984890 ; 1,5 ; environ 2,984890 ; 1,5 ; environ 2,984890. Les six cercles occupent donc six positions distinctes.
4. Le cercle 6, placé au sommet C, vérifie avec le cercle 1 la même relation de tangence. Leur distance entre centres est donc égale à la somme de leurs rayons : la chaîne se ferme.
Le contrôle est refaisable en remplaçant les deux rayons dans la relation : les deux membres valent environ 4,232, l’écart éventuel provenant seulement de l’arrondi de r2.
En pratique
Dans un problème de construction, le théorème évite de vérifier séparément la dernière tangence. Une fois les cinq premières obtenues dans le bon ordre, la sixième avec le cercle initial est automatique.
Pour contrôler un dessin, on repère d’abord les deux côtés touchés par chaque cercle, puis l’ordre des sommets. Si cet ordre n’est pas cyclique, une vérification directe des distances entre centres remplace le théorème.
Dans une exploration dynamique, on peut modifier le rayon du premier cercle et observer la propagation des rayons. Le critère pertinent reste la tangence de voisinage, et non l’impression visuelle d’un simple contact.
À ne pas confondre
Un cercle inscrit dans un triangle touche ses trois côtés. Ici, chaque cercle de la chaîne est calé dans un angle et touche seulement les deux côtés qui forment cet angle.
Une configuration de cocyclicité liée au théorème de Miquel conclut que plusieurs points appartiennent à un même cercle. Le théorème traité ici conclut à la fermeture d’une chaîne par tangences ; il ne fournit pas un critère de cocyclicité de quatre points.
Limites et pièges
Le mot « coïncide » est trompeur dans la formulation source : la fermeture ordinaire signifie que le sixième cercle touche le premier. Sur un dessin correct, leurs centres sont distincts et la distance entre eux vaut la somme des rayons.
Dans une configuration symétrique particulière, la suite peut revenir à une position déjà occupée avant six placements. Ce cas de période plus courte ne doit pas servir à conclure que les six cercles se confondent en général.
Un triangle aplati ne possède plus trois angles intérieurs utilisables de la manière requise. La construction cesse alors d’entrer dans le domaine du théorème ; il faut traiter séparément la configuration limite.
Un léger chevauchement graphique n’établit pas une tangence. Le contrôle fiable compare la distance entre les centres à la somme des rayons pour une tangence extérieure.
Pour aller plus loin
Le théorème de Poncelet élargit l’idée de fermeture et situe cette chaîne parmi d’autres phénomènes géométriques cycliques.
Le cercle inscrit aide à distinguer la tangence aux trois côtés du triangle de la tangence aux deux côtés d’un angle.
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