théorème de Poncelet

Imaginez un point placé hors d’une conique. Deux droites partent de ce point et effleurent la courbe, chacune en un seul point. Tracez aussi les droites qui rejoignent le point extérieur aux deux foyers. Le théorème de Poncelet révèle alors un même partage des angles : les droites vers les foyers et les deux tangentes possèdent les mêmes bissectrices. Une seconde relation retrouve ces bissectrices depuis chacun des foyers.

Le nom « théorème de Poncelet » désigne ici deux propriétés focales d’une conique. On considère une conique munie de deux foyers, notés F et F′, ainsi qu’un point extérieur M depuis lequel partent deux tangentes réelles distinctes. Leurs points de contact avec la conique sont notés T et T′.

La première propriété compare deux couples de droites passant par M. Le couple formé par (MF) et (MF′) a exactement les mêmes deux bissectrices que le couple formé par (MT) et (MT′). La seconde propriété se lit depuis les foyers : la droite (FM) bissecte les droites (FT) et (FT′), tandis que (F′M) bissecte les droites (F′T) et (F′T′). Les bissectrices intérieure et extérieure doivent être comprises comme des droites, car leur désignation dépend de l’angle choisi.

Cette acception n’épuise pas le nom de Poncelet. Le théorème de clôture, le théorème de Poncelet-Steiner et le théorème de Brianchon-Poncelet sont d’autres résultats ; leur seule attribution à Poncelet ne les rend pas interchangeables avec les relations focales décrites ici.

Si une conique de foyers F et F′ admet depuis un point extérieur M deux tangentes distinctes, qui la touchent en T et T′, alors les couples (MF, MF′) et (MT, MT′) ont les mêmes bissectrices. De plus, (FM) est une bissectrice du couple (FT, FT′), et (F′M) est une bissectrice du couple (F′T, F′T′). L’énoncé porte sur les droites support : il reste donc valable sans choisir à l’avance un angle orienté ou une bissectrice dite intérieure.

La configuration exige une conique pour laquelle deux foyers F et F′ sont distingués, un point M extérieur à la courbe et deux tangentes réelles distinctes issues de M. Les points T et T′ doivent être leurs points de contact respectifs. Ces données permettent de former tous les couples de droites mentionnés dans l’énoncé.

Si M est sur la conique, les deux tangentes se confondent en une seule : le couple (MT, MT′) disparaît et l’énoncé ne s’applique pas sous cette forme. De même, si la conique n’offre pas deux foyers distincts ou si deux tangentes réelles ne peuvent pas être tracées depuis M, il faut d’abord changer de configuration plutôt que forcer la conclusion.

Prenons l’ellipse d’équation $x^2\mathrm{/}25+y^2\mathrm{/}9=1x^2/25+y^2/9=1$. Ses foyers sont F(−4 ; 0) et F′(4 ; 0), et le point extérieur choisi est M(0 ; 5). Les points de contact cherchés sont T et T′.

1. Notons (u ; v) un point de contact. Sa tangente passe par M lorsque 5v/9 = 1, donc v = 9/5.
2. Dans l’équation de l’ellipse, u²/25 + 9/25 = 1, d’où u² = 16.
3. On obtient T(−4 ; 9/5) et T′(4 ; 9/5).
4. Depuis M, T et T′ sont symétriques par rapport à la verticale x = 0 ; F et F′ le sont aussi. Les deux couples de droites ont donc les mêmes bissectrices, x = 0 et y = 5.
5. Depuis F, les directions unitaires vers T et T′ sont (0 ; 1) et (40/41 ; 9/41). Leur somme, (40/41 ; 50/41), est parallèle à (4 ; 5), direction de FM. Ainsi, FM est bien une bissectrice. Le calcul depuis F′ est symétrique.

Le contrôle est refaisable : les coordonnées de T et T′ satisfont exactement l’équation de l’ellipse, et les deux équations de tangente passent par M.

Dans une figure de conique, commencez par repérer un point extérieur, deux points de contact et les deux foyers. Si ces cinq éléments sont présents, le théorème transforme une question d’angles en un alignement avec une bissectrice.

Pour contrôler une construction, tracez les deux tangentes puis les droites reliant le point extérieur aux foyers. La coïncidence de leurs bissectrices constitue le test observable. Si une seule tangente existe, cette version du théorème n’est pas le bon outil.

Lorsque le problème part d’un foyer, la seconde propriété est plus directe : comparez les directions vers les deux points de contact, puis vérifiez que la droite vers M partage l’angle correspondant.

Le théorème de clôture de Poncelet. Il s’agit d’un autre résultat portant le même nom. Le critère décisif est le sujet de l’énoncé : une propriété de fermeture n’est pas la relation entre foyers, tangentes et bissectrices étudiée ici.

Le théorème de Poncelet-Steiner. Il concerne un problème de construction à la règle, non le partage d’angles déterminé par les foyers d’une conique. La présence d’une procédure de construction, plutôt que de deux tangentes issues d’un point extérieur, tranche l’ambiguïté.

Le théorème de Brianchon-Poncelet. Son intitulé complet signale encore un résultat distinct. Si l’énoncé ne met pas en jeu le quadruplet formé par deux foyers et deux points de contact, il ne faut pas lui appliquer automatiquement les bissectrices de cette fiche.

Un nom, plusieurs théorèmes. Le symptôme est un énoncé attribué à Poncelet mais dépourvu de foyers, de tangentes et de bissectrices. Il faut alors identifier le nom complet du résultat avant tout raisonnement.

Une tangente double. Lorsque M atteint la conique, T et T′ coïncident et il ne reste qu’une tangente. Les deux couples de droites requis ne sont plus constitués de droites distinctes ; cette formulation du théorème doit être écartée.

Des foyers confondus ou absents. La notation F, F′ ne suffit pas si la conique n’a pas deux foyers distincts dans le cadre considéré. La relation focale devient dégénérée ou n’est pas définie ; il faut revenir à un énoncé adapté à cette conique.

Le mot « bissectrice » sans angle choisi. Deux droites sécantes déterminent deux bissectrices perpendiculaires. Pour éviter une fausse contradiction entre bissectrice intérieure et extérieure, comparez d’abord les droites support, comme le fait l’énoncé.

La fiche conique précise l’objet géométrique sur lequel reposent foyers, tangentes et points de contact.

Le théorème de clôture de Poncelet permet d’examiner séparément l’un des autres résultats cités sous le nom de Poncelet.

Le théorème de Brianchon-Poncelet donne accès à une autre entrée du glossaire et évite de confondre les deux énoncés.