Dandelin Germinal Pierre

En 1822, Germinal Pierre Dandelin étudie avec Adolphe Quételet ce qui apparaît lorsqu’un plan coupe un cône de révolution. Il imagine des sphères logées dans le cône et juste tangentes au plan de coupe. Leurs points de contact font apparaître les foyers de la conique obtenue.

Cette construction spatiale rend visibles des points qui, dans la représentation plane, semblent autrement surgir d’une définition abstraite. Elle constitue la trace mathématique la plus célèbre de Dandelin.

Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) est un mathématicien belge d’origine française, né au Bourget et élevé à Gand. Entré à l’École polytechnique de Paris en 1813, il voit ses études interrompues par les événements politiques et militaires. De retour en Belgique, il devient citoyen néerlandais en 1817, puis partage sa carrière entre le génie militaire et l’enseignement universitaire. Il traverse la révolution belge de 1830.

Ami de Quételet depuis le lycée, Dandelin travaille surtout en géométrie. Leur résultat de 1822 relie une section plane d’un cône de révolution aux sphères tangentes à la fois au cône et au plan. Dans les cas non dégénérés, les points de tangence situés dans le plan donnent le ou les foyers de la conique. Cette formulation couvre l’ellipse, la parabole et l’hyperbole, avec un nombre de sphères utile qui dépend du type de section.

Élu à l’Académie royale des sciences de Bruxelles en 1825, il étend en 1826 ses recherches à l’hyperboloïde de révolution et relie ses génératrices aux hexagones de Pascal et de Brianchon. Ses autres travaux concernent la projection stéréographique, l’algèbre, les probabilités et la méthode de Dandelin-Gräffe pour approcher les racines d’équations algébriques.

Considérons une coupe oblique d’un cône de révolution qui produit une ellipse. Le schéma axial représente le cône par deux droites, les sphères par deux cercles et le plan de coupe par une droite.

1. Dans la coupe axiale, cherchons du côté du sommet le cercle qui touche les deux côtés du cône et la droite du plan sans les traverser : ces trois tangences déterminent la position de la première sphère. Son point de contact avec le plan est nommé F₁.

2. Plus bas dans la même nappe, cherchons le second cercle qui touche lui aussi les deux côtés du cône et la droite du plan sans les traverser. Ces trois tangences déterminent la position de la seconde sphère ; son contact avec le plan est nommé F₂.

3. La section réelle est l’ellipse contenue dans le plan. Les deux contacts F₁ et F₂ en sont les foyers. Le contrôle consiste à vérifier sur la coupe axiale que chaque cercle touche les deux côtés du cône et la droite du plan sans la traverser.

Pour lire une coupe conique, la construction de Dandelin relie directement le solide au dessin plan. On cherche les sphères tangentes au cône et au plan lorsque l’objectif est d’identifier géométriquement les foyers.

Pour étudier la trajectoire intellectuelle de Dandelin, il faut séparer ses résultats. Le théorème des coniques date de 1822, l’élection à l’Académie de 1825 et la généralisation à l’hyperboloïde de 1826.

Pour une équation algébrique, on se tourne vers la méthode de Dandelin-Gräffe plutôt que vers les sphères. Le critère décisif est l’objet étudié : racines d’une équation d’un côté, foyers d’une section conique de l’autre.

Germinal Dandelin et le théorème de Dandelin. Le premier est le mathématicien né en 1794 ; le second est un résultat géométrique établi avec Quételet en 1822. Une recherche biographique appelle la personne, tandis qu’une construction de foyers appelle le théorème.

Théorème de Dandelin et méthode de Dandelin-Gräffe. Le théorème porte sur les coniques obtenues par section d’un cône. La méthode porte sur l’approximation des racines d’équations algébriques. La présence d’un cône ou d’une équation tranche immédiatement.

Le nombre de sphères dépend de la conique. Deux sphères donnent les deux foyers d’une ellipse ou d’une hyperbole. Dans le cas parabolique, une seule sphère fournit le foyer fini. Il ne faut donc pas imposer mécaniquement deux sphères à toute section.

Une coupe peut être dégénérée. Si le plan passe par le sommet du cône, la section peut devenir une ou deux droites au lieu d’une conique non dégénérée. La construction focale ordinaire ne s’applique alors pas telle quelle.

Le schéma axial n’est pas l’ellipse. Dans une vue en coupe par l’axe du cône, les sphères apparaissent comme des cercles et le plan comme une droite. L’ellipse, elle, appartient au plan de coupe dans l’espace.

Théorème de Dandelin — Pour approfondir la construction qui relie les sphères inscrites aux foyers des coniques.

Stéréographique (projection) — Pour découvrir un autre domaine géométrique auquel Dandelin s’est intéressé.