quadrique

Imaginez une boule légèrement aplatie, puis coupez-la par une plaque plane. La peau de la boule est une quadrique ; la trace laissée sur la plaque est une ellipse, donc une conique.

Le mot rassemble plusieurs surfaces courbes de l'espace décrites par des termes au carré. Selon les signes et les coefficients, l'équation produit notamment un ellipsoïde, un hyperboloïde ou un paraboloïde. Certaines formes se dégénèrent en cône, en cylindre ou en deux plans.

Dans un repère de l'espace, une quadrique est l'ensemble des points dont les coordonnées réelles x, y et z annulent un polynôme de degré 2. Au moins un coefficient d'un terme quadratique doit être non nul. Avec dix coefficients réels nommés a, b, c, f, g, h, p, q, r et d, une écriture générale est :

Une translation et, dans un repère orthonormé, une rotation permettent souvent de reconnaître une forme canonique. Les formes non dégénérées comprennent les ellipsoïdes, les hyperboloïdes à une ou deux nappes et les paraboloïdes elliptiques ou hyperboliques. Une intersection avec un plan donne une conique, éventuellement dégénérée, réduite à un point ou vide dans le cadre réel, sauf lorsque l'équation restreinte au plan s'annule identiquement : l'intersection est alors le plan entier. Les cônes, les cylindres et les réunions de deux plans relèvent des cas dégénérés selon la convention de classification retenue.

Considérons la surface formée par les points de coordonnées réelles x, y et z qui vérifient l'équation suivante.

Les données sont les demi-axes 3, 2 et 1, ainsi que le plan de coupe d'équation z = 0. Les trois termes au carré ont des coefficients positifs : la surface est un ellipsoïde.

1. Remplaçons z par 0 dans l'équation de la surface.

2. La section vérifie $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\backslash frac\{x^2\}\{9\}+\backslash frac\{y^2\}\{4\}=1$. C'est une ellipse dans le plan z = 0.

3. En posant y = 0, on obtient x² = 9, donc x = −3 ou x = 3. En posant x = 0, on obtient y² = 4, donc y = −2 ou y = 2.

Le contrôle consiste à substituer chacun des quatre points (±3, 0, 0) et (0, ±2, 0) dans l'équation initiale : chaque substitution donne exactement 1. La figure représente cette trace plane et ses quatre points extrêmes.

Pour reconnaître une quadrique à partir d'une équation, on regroupe les termes de degré 2, les termes linéaires et la constante. Si les termes croisés xy, xz ou yz sont présents, un changement de repère adapté aide à faire apparaître la forme canonique.

Pour étudier une coupe, on ajoute l'équation du plan puis on l'utilise pour éliminer une coordonnée. L'équation restante décrit une conique réelle, un cas dégénéré ou une intersection vide.

Pour esquisser la surface, on examine d'abord les coupes par les plans de coordonnées. Si une coupe ne suffit pas à distinguer deux formes, les signes des termes au carré et l'existence de points réels fournissent le critère décisif.

Quadrique et conique. Une quadrique est une surface de l'espace, tandis qu'une conique est une courbe d'un plan. L'ellipsoïde de l'exemple est une quadrique ; sa coupe par z = 0 est une ellipse, donc une conique.

Équation quadratique et quadrique. Le polynôme est l'expression algébrique ; la quadrique est son ensemble de zéros dans l'espace considéré. Deux équations obtenues en multipliant tous les termes par le même nombre non nul décrivent ainsi la même surface.

Une coupe plane n'est pas toujours une ellipse visible. Dans l'espace réel, elle peut être une hyperbole, une parabole, deux droites, une droite, un point ou l'ensemble vide. Il faut résoudre l'équation restreinte au plan avant de nommer la section.

Le degré 2 ne garantit pas une surface lisse. L'équation x² − y² = 0 se factorise en (x − y)(x + y) = 0 et décrit deux plans, quel que soit z. La factorisation révèle ici le cas dégénéré.

Les mots « propre » et « impropre » dépendent de la convention. Certaines classifications rangent cônes et cylindres parmi les quadriques dégénérées, d'autres distinguent plutôt le rang de la forme quadratique ou celui de l'équation homogénéisée. Il faut annoncer le critère employé.

L'absence de point réel ne signifie pas que l'équation a perdu son degré. Par exemple, x² + y² + z² + 1 = 0 reste une équation du second degré, mais son ensemble de solutions réelles est vide. Il faut préciser si l'on étudie les solutions réelles ou complexes.

La fiche conique approfondit les courbes obtenues lorsqu'un plan coupe une quadrique.

La fiche Hyperboloïde détaille une famille de quadriques dont les signes conduisent à une ou deux nappes.

La fiche paraboloïde prolonge l'étude par les formes elliptiques et hyperboliques de cette famille.