paraboloïde hyperbolique

Imaginez une selle : elle remonte quand on la suit de l’avant vers l’arrière, mais redescend quand on la traverse d’un côté à l’autre. Le paraboloïde hyperbolique possède cette double courbure. Autour de son centre, une direction dessine une parabole tournée vers le haut et la direction perpendiculaire une parabole tournée vers le bas.

Sa surprise géométrique tient aux lignes droites que l’on peut tracer entièrement sur cette surface courbe. Deux familles de droites la parcourent : c’est pourquoi on la qualifie de surface réglée.

Dans un repère cartésien, les lettres x et y désignent les coordonnées horizontales, tandis que z désigne la hauteur. Les paramètres non nuls a, b et h règlent l’échelle dans les trois directions. Un paraboloïde hyperbolique est la quadrique d’équation $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{h}\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=\backslash frac\{z\}\{h\}$. Les termes en x² et y² ont des signes opposés : cette opposition produit la forme de selle.

Pour le modèle a = b = h = 1, l’équation devient $z=x^2-y^{2}z=x^2-y^2$. Dans le plan y = 0, la coupe est la parabole z = x², tournée vers le haut. Dans le plan x = 0, la coupe est z = −y², tournée vers le bas. La représentation associée rend visibles ces concavités opposées ainsi que des droites contenues dans la surface.

La surface peut aussi se décomposer comme la somme des deux paraboles paramétrées (x, 0, x²) et (0, y, −y²). Enfin, l’identité z = (x − y)(x + y) révèle son caractère réglé : fixer x − y ou fixer x + y laisse varier les coordonnées selon une droite. Par chaque point de ce modèle passent donc deux droites de la surface, une de chaque famille.

On étudie le modèle z = x² − y². Les données sont le point horizontal de coordonnées x = 2 et y = 1, puis la règle qui associe à ces coordonnées la hauteur z.

1. Remplaçons x par 2 et y par 1 : $z=2^2-1^{2}z=2^2-1^2$.

2. Calculons les carrés : z = 4 − 1, donc z = 3. Le point P de coordonnées (2, 1, 3) appartient à la surface.

3. Vérifions la première droite réglée. Au point P, x − y vaut 1. En imposant x − y = 1 et en notant s la valeur de x + y, on obtient $(x,y,z)=(\frac{s+1}{2},\frac{s-1}{2},s)(x,y,z)=\backslash left(\backslash frac\{s+1\}\{2\},\backslash frac\{s-1\}\{2\},s\backslash right)$. Pour s = 3, on retrouve bien P.

Le contrôle consiste à développer le produit : pour tout s, (x − y)(x + y) = 1 × s = s = z. Toute la droite paramétrée est donc contenue dans le paraboloïde hyperbolique, et pas seulement le point P.

Pour reconnaître une selle dans une équation de la forme z = Ax² + By², sans terme croisé ni terme en z² et avec A et B non nuls, on examine les signes de A et B. Des signes opposés orientent une coupe parabolique vers le haut et l’autre vers le bas. Avec des signes identiques, il faut plutôt tester un paraboloïde elliptique.

Pour tracer la surface, on commence par les coupes x = 0 et y = 0, qui donnent ses deux profils principaux. On ajoute ensuite quelques coupes parallèles. Ce procédé est préférable à un dessin à main levée lorsque les hauteurs doivent respecter l’équation.

Pour exploiter la propriété réglée, on factorise z = x² − y² en (x − y)(x + y). Fixer l’un des deux facteurs fournit alors une droite de la surface. Cette construction est plus directe qu’un maillage de courbes lorsqu’on cherche précisément les génératrices rectilignes.

Le paraboloïde elliptique a des termes quadratiques de même signe : ses coupes principales s’ouvrent du même côté et il forme une cuvette. Pour z = x² + y², tout point différent de l’origine a une hauteur positive ; ce test exclut la selle z = x² − y².

L’hyperboloïde est une autre quadrique, mais son équation met généralement une constante en regard de termes quadratiques. Le paraboloïde hyperbolique isole au contraire une coordonnée au premier degré, comme z dans z = x² − y². Vérifier le degré de cette coordonnée tranche entre les deux formes.

Une hyperbole est une courbe plane, tandis que le paraboloïde hyperbolique est une surface de l’espace. Une coupe horizontale z = c peut donner une hyperbole, mais cette coupe n’est pas la surface entière.

Les paramètres a, b et h de l’équation de référence doivent être non nuls. Si a = 0 ou b = 0, un dénominateur s’annule ; si h = 0, z/h n’est pas défini. Il faut alors changer d’équation au lieu de parler de ce paraboloïde hyperbolique.

Le point central n’est ni un sommet maximal ni un sommet minimal. Dans z = x² − y², les points (t, 0, t²) montent à partir de l’origine, tandis que les points (0, t, −t²) descendent. Il faut examiner au moins ces deux directions avant de conclure sur un extremum.

Une coupe horizontale peut tromper. Pour z = 0, l’équation devient x² − y² = 0 et se réduit aux deux droites x = y et x = −y ; pour z non nul, la coupe est une hyperbole. Le cas charnière z = 0 doit donc être traité séparément.

Une seule famille de droites ne décrit pas toute la propriété réglée du modèle. La factorisation (x − y)(x + y) montre deux choix symétriques : fixer x − y ou fixer x + y. Pour vérifier un tracé, il faut rechercher les deux familles.

La notion de quadrique replace le paraboloïde hyperbolique parmi les surfaces définies par une équation du second degré.

L’étude de la parabole précise les deux profils de concavités opposées qui engendrent la selle.

La fiche sur l’hyperbole aide à lire les coupes horizontales de la surface lorsque z est non nul.