AnalyseNotion · Glossaire
Direction asymptotique
Une direction asymptotique d'une surface est une direction tangente en un point dans laquelle la courbure normale est nulle. En un point hyperbolique (courbure de Gauss négative), il existe exactement deux directions asymptotiques réelles distinctes. En un point parabolique non plat, il y a une seule direction asymptotique ; en un point plat, toutes les directions sont asymptotiques. En un point elliptique, il n'existe pas de direction asymptotique réelle. Les courbes tangentes aux directions asymptotiques sont appelées lignes asymptotiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une direction asymptotique à l'annulation de la courbure normale.
- Calculer les deux directions asymptotiques de la selle z = x² − y² à l'origine.
- Dénombrer les directions aux points hyperboliques, elliptiques, paraboliques non plats et plats.
- Distinguer la notion locale sur une surface de la direction d'une branche infinie et d'une asymptote.
En clair
Imaginez une selle au voisinage de son centre. Elle se relève dans un sens et s'abaisse dans le sens perpendiculaire. Entre ces deux mouvements, deux directions diagonales suivent momentanément la surface sans la voir courber vers le haut ni vers le bas.
Ces diagonales donnent l'intuition des directions asymptotiques. Elles appartiennent au plan tangent et annulent la courbure normale, c'est-à-dire la flexion de la surface mesurée dans un plan contenant sa normale. Selon la forme locale, il peut y en avoir deux, une seule ou aucune.
Définition
Soit un point régulier p d'une surface et une direction tangente non nulle en ce point. Le plan engendré par cette direction et par la normale à la surface découpe une section normale. La courbure signée de cette section est la courbure normale. La direction est dite asymptotique lorsque cette courbure vaut zéro.
La seconde forme fondamentale au point, notée IIp, mesure cette courbure à un facteur positif près. Pour un vecteur tangent non nul v, le critère est . Une direction désigne ici une droite du plan tangent : les vecteurs v et −v représentent donc la même direction.
À un point hyperbolique, où la courbure de Gauss est négative, ce critère fournit exactement deux directions réelles distinctes. À un point elliptique, il n'en fournit aucune. À un point parabolique non plat, les deux directions se confondent en une seule. Si toute la seconde forme fondamentale s'annule, toutes les directions sont asymptotiques au point. Une courbe dont la tangente suit partout une direction asymptotique est une ligne asymptotique.
Un exemple, pas à pas
On étudie la surface en selle dont les coordonnées horizontales sont x et y, et dont la hauteur z est donnée par . Le point choisi est l'origine O, de coordonnées (0, 0, 0). Son plan tangent est horizontal. Un vecteur tangent v est décrit par ses composantes a et b, sous la forme , avec a et b non simultanément nuls.
1. À l'origine, la première forme fondamentale est la somme des carrés des composantes : .
2. Avec la normale orientée vers le haut, la seconde forme fondamentale vaut . La courbure normale associée à v, notée kn(v), est donc :
3. L'annulation impose a2 = b2, donc b = a ou b = −a. On obtient exactement les deux directions portées par (1, 1) et (1, −1).
4. Le contrôle est direct : les courbes paramétrées par et vérifient bien z = x2 − y2. Ce sont ici deux droites de la surface, tangentes aux deux directions trouvées.
En pratique
Pour classer la forme locale d'une surface, on calcule la seconde forme fondamentale au point, puis on cherche les directions qui l'annulent. Deux solutions distinctes signalent un point hyperbolique ; aucune solution réelle signale un point elliptique. La courbure de Gauss offre un contrôle indépendant du verdict.
Pour tracer des lignes asymptotiques, on détermine d'abord les directions admissibles en chaque point, puis on cherche des courbes dont la tangente suit ce champ de directions. À proximité d'un point hyperbolique, deux familles locales peuvent ainsi apparaître. À un point elliptique, cette construction réelle s'arrête.
Sur la selle z = x2 − y2, la vérification peut se faire sans approximation : les diagonales y = x et y = −x maintiennent z à zéro. Si une courbe candidate quitte ces diagonales, il faut recalculer sa courbure normale plutôt que se fier à son aspect presque rectiligne.
À ne pas confondre
Direction asymptotique d'une branche plane. Dans l'étude d'une branche infinie, l'expression désigne une direction limite observée quand le point s'éloigne à l'infini. Pour une surface, le critère est local et porte sur la courbure normale en un point. La selle étudiée possède ainsi deux directions asymptotiques dès son origine, sans passage à l'infini.
Asymptote. Une asymptote est une droite dont une courbe se rapproche à l'infini. Une direction asymptotique de surface est une direction tangente où la courbure normale s'annule. Les deux droites de la selle sont contenues dans la surface ; leur rôle ne vient pas d'un rapprochement à l'infini.
Direction principale. Une direction principale rend la courbure normale extrémale, tandis qu'une direction asymptotique la rend nulle. À l'origine de la selle, les axes de coordonnées sont principaux, mais les deux diagonales sont asymptotiques : le calcul de la valeur tranche immédiatement.
Limites et pièges
Point parabolique ou point plat. La formule « une seule direction » suppose que la seconde forme fondamentale ne s'annule pas entièrement. Si elle est nulle, le calcul donne zéro pour tout vecteur tangent : toutes les directions sont alors asymptotiques au point. Il faut donc examiner la forme quadratique, pas seulement constater une courbure de Gauss nulle.
Régularité indispensable. La définition utilise un plan tangent et une normale. Si le paramétrage est singulier et ne détermine pas ces objets, l'équation de courbure normale n'est pas applicable. Il faut d'abord choisir une représentation régulière ou traiter la singularité séparément.
Annulation ponctuelle. Une courbe peut être tangente à une direction asymptotique en un point sans être une ligne asymptotique. Si la courbure normale redevient non nulle plus loin, le critère échoue. Il faut la vérifier en chaque point de la courbe.
Tracé trompeur. Une direction asymptotique n'est pas nécessairement portée par une droite de la surface. Les deux droites de la selle constituent un cas particulièrement simple. Sur une autre surface, il faut intégrer le champ de directions au lieu de prolonger un segment à l'œil.
Pour aller plus loin
La courbure de Gauss permet de relier le signe de la courbure locale au nombre de directions asymptotiques réelles.
L'article sur l'asymptote précise la notion liée au comportement d'une courbe à l'infini, distincte du critère local sur une surface.
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