GéométrieNotion · Glossaire
Rayon de courbure
Lorsque la courbure d'une courbe en un point est non nulle, le rayon de courbure est l'inverse de sa valeur absolue. Il représente le rayon du cercle osculateur, c'est-à-dire du cercle qui approche le mieux la courbe au voisinage de ce point. Pour une courbe plane paramétrée par son vecteur position r(t), le rayon de courbure vaut . Un rayon de courbure grand indique une courbe peu courbée, tandis qu'un rayon faible correspond à un virage serré.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le rayon comme la taille du cercle osculateur local.
- Appliquer la formule d’une courbe plane paramétrée sous ses hypothèses de régularité.
- Reproduire le calcul du rayon 0,5 pour une parabole en un point.
- Reconnaître les cas de courbure nulle et de vecteur vitesse nul.
En clair
Imaginez une voiture qui suit une route. Dans une ligne presque droite, il faudrait tracer un très grand cercle pour épouser localement sa trajectoire. Dans un virage serré, un petit cercle convient mieux. Le rayon de ce cercle local est le rayon de courbure.
Cette mesure dépend du point observé : une même courbe peut être presque droite à un endroit et tourner fortement à un autre. Plus le rayon est grand, moins la courbe tourne ; plus il est petit, plus elle tourne vivement.
Définition
Lorsque sa courbure est non nulle, le rayon de courbure mesure la taille du cercle osculateur en un point d’une courbe plane suffisamment régulière. Ce cercle partage avec la courbe le point considéré, sa tangente et sa courbure. Si la courbure, notée κ, est non nulle, le rayon de courbure R est donné par . La valeur absolue rend R positif ; le signe éventuel de la courbure décrit un côté ou une orientation, pas une longueur.
Pour une courbe paramétrée par un réel t, on note r(t) son vecteur position, r′(t) son vecteur vitesse et r″(t) son vecteur accélération. Lorsque r′(t) n’est pas nul et que le déterminant de r′(t) et r″(t) ne s’annule pas, la formule plane est :
Une autre paramétrisation régulière de la même portion de courbe donne le même rayon au même point.
Quand la courbure est nulle, la formule conduit à un rayon infini : la courbe est localement aussi peu courbée qu’une droite. Si le vecteur vitesse est nul, cette formule paramétrique ne s’applique pas directement.
Un exemple, pas à pas
Considérons la parabole paramétrée par r(t) = (t, t2) et cherchons son rayon de courbure au point correspondant à t = 0. Les données sont le vecteur position r, le paramètre t et le point P = (0, 0).
1. On dérive le vecteur position : r′(t) = (1, 2t), donc r′(0) = (1, 0). Sa norme vaut 1.
2. On dérive encore : r″(t) = (0, 2), donc r″(0) = (0, 2).
3. Le déterminant des deux vecteurs au point P vaut 1 × 2 − 0 × 0 = 2.
4. On applique la formule : .
2. On dérive encore : r″(t) = (0, 2), donc r″(0) = (0, 2).
3. Le déterminant des deux vecteurs au point P vaut 1 × 2 − 0 × 0 = 2.
4. On applique la formule : .
Le rayon de courbure en P vaut donc 0,5 unité. Le cercle osculateur a pour centre (0, 0,5) et pour rayon 0,5 : il passe bien par P, où sa tangente est horizontale comme celle de la parabole. La figure matérialise ce contact local et fournit ce contrôle géométrique.
En pratique
Sur une trajectoire plane décrite par des coordonnées, le rayon de courbure local indique si le virage est ample ou serré. On emploie la formule paramétrique lorsque la vitesse ne s’annule pas ; si elle s’annule, il faut d’abord choisir une paramétrisation régulière ou étudier la courbe autrement.
Pour comparer deux portions d’une même courbe, on compare leurs rayons au même niveau d’unité. La portion au plus petit rayon tourne davantage. Comparer seulement leur aspect dessiné serait trompeur si les échelles du graphique diffèrent.
Pour construire une approximation locale, on utilise le cercle osculateur quand la courbure est non nulle. Au voisinage d’un point de courbure nulle, une droite tangente décrit mieux l’absence de virage du premier ordre qu’un cercle de rayon fini.
À ne pas confondre
Rayon de courbure et courbure. Lorsque la courbure κ n’est pas nulle, le rayon positif est l’inverse de sa valeur absolue : . Dans l’exemple de la parabole en P, la courbure vaut 2 par unité, tandis que le rayon vaut 0,5 unité.
Rayon de courbure et cercle osculateur. Le premier est une longueur ; le second est le cercle local qui possède cette longueur pour rayon. Dire « 0,5 unité » donne le rayon, alors que donner aussi le centre (0, 0,5) détermine le cercle de l’exemple.
Limites et pièges
Courbure nulle. Le dénominateur de la formule du rayon s’annule et aucun cercle de rayon fini ne représente ce cas. On interprète le rayon comme infini et l’on retient la tangente pour décrire localement une direction droite.
Paramétrisation non régulière. Si r′(t) = (0, 0), le numérateur et le dénominateur peuvent s’annuler ensemble. Le quotient ne décide alors rien : il faut reparamétrer régulièrement la courbe ou revenir à sa géométrie locale avant de calculer.
Signe et côté du centre. Le rayon est une longueur positive, même si une courbure orientée peut être négative. La valeur |κ| donne la taille ; l’orientation de la courbe et le choix de la normale déterminent de quel côté se place le centre osculateur.
Effet d’échelle. Un agrandissement de facteur 2 double tous les rayons de courbure, bien que la forme dessinée paraisse identique. Il faut donc conserver les unités et l’échelle avant toute comparaison numérique.
Pour aller plus loin
Courbure géodésique — Pour prolonger l’étude de la courbure lorsqu’une courbe est contrainte à rester sur une surface.
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