GéométrieNotion · Glossaire
Centre de courbure
Le centre de courbure d'une courbe plane en un point est le centre du cercle osculateur en ce point, c'est-à-dire le cercle qui approche le mieux la courbe au voisinage de ce point. Il se situe sur la normale à la courbe au point considéré. La distance entre le point de la courbe et son centre de courbure est le rayon de courbure. Lorsqu'on fait varier le point sur la courbe, le lieu des centres de courbure décrit une courbe appelée développée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer le centre de courbure sur la normale à une courbe plane.
- Relier centre, cercle osculateur, rayon de courbure et développée.
- Calculer le centre et le rayon sur la parabole y = x² au point (1, 1).
- Reconnaître les cas où aucun centre fini n’existe.
En clair
Tracez une courbe et posez mentalement un cercle contre elle. Au point de contact, ajustez le cercle jusqu’à ce que son arc épouse la courbe aussi fidèlement que possible. Le centre de ce cercle est le centre de courbure.
Un virage serré correspond à un centre proche et à un petit rayon. Une courbe presque droite a, au contraire, un centre très éloigné. Le centre se trouve sur la droite perpendiculaire à la tangente au point étudié.
Définition
Soit une courbe plane régulière, suffisamment dérivable au voisinage d’un point P, et de courbure non nulle en P. Son centre de courbure C est le centre du cercle osculateur : ce cercle a en P la même tangente et la même courbure que la courbe. Le point C appartient à la normale à la courbe en P. La distance PC est le rayon de courbure, noté ρ, et vaut l’inverse de la valeur absolue de la courbure κ : .
Pour une courbe donnée par une fonction deux fois dérivable y = f(x), avec f′ et f″ les première et seconde dérivées, et telle que f″(x) ≠ 0 au point considéré, la courbure et le rayon au point d’abscisse x sont :
Le côté de la normale dépend du sens dans lequel la courbe tourne. Une normale unitaire orientée vers la concavité fixe ce côté ; le centre s’écrit alors C = P + ρN, où N désigne cette normale. Quand P parcourt la courbe et que ces centres existent, leur lieu est la développée de la courbe.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, considérons la parabole y = x2 au point P de coordonnées (1, 1). Les données sont f(x) = x2, f′(1) = 2 et f″(1) = 2. Les distances sont exprimées dans l’unité de longueur du repère.
1. La courbure en P vaut .
2. Le rayon de courbure vaut donc unités de longueur.
3. La normale unitaire dirigée vers la concavité est . Le déplacement de P vers C est alors .
4. Le centre de courbure est . Le contrôle donne , exactement le rayon calculé.
En pratique
Pour analyser une trajectoire plane, le centre de courbure indique vers quel côté elle tourne localement. Le rayon mesure la douceur du virage : plus il est petit, plus la déviation est forte. Si la trajectoire est presque droite, la courbure est souvent plus stable à manipuler qu’un rayon devenu très grand.
Pour construire une approximation locale, on remplace un petit morceau de courbe par son cercle osculateur. Cette approximation convient lorsque l’on étudie un voisinage très proche du point ; une approximation par la tangente suffit si seul le premier ordre est utile.
Pour dessiner la développée, on calcule plusieurs centres de courbure le long de la courbe, puis on suit leur lieu. Le calcul doit exclure ou traiter séparément les points où la courbure s’annule ou n’est pas définie.
À ne pas confondre
Centre de courbure et cercle osculateur. Le premier est un point ; le second est un cercle centré en ce point. Sur la parabole y = x2 en P = (1, 1), C = (−4, 7/2) désigne le centre, tandis que le cercle de rayon 5√5/2 centré en C est le cercle osculateur.
Centre de courbure et rayon de courbure. Le centre donne une position dans le plan, alors que le rayon est une distance positive. Deux informations les distinguent donc : des coordonnées pour C, une longueur pour ρ.
Limites et pièges
Courbure nulle. Lorsque κ = 0, le rayon 1/|κ| n’est pas fini : il n’existe pas de centre de courbure fini. Une droite en fournit le cas charnière. Il faut alors parler d’un centre à l’infini seulement comme convention projective, pas comme d’un point ordinaire du plan.
Point non régulier ou dérivées insuffisantes. À une pointe, la tangente ou la courbure peut manquer. Le symptôme est une vitesse paramétrique nulle, une tangente non unique ou l’impossibilité de calculer les dérivées requises. Il faut étudier séparément les branches ou renoncer au centre en ce point.
Signe et orientation. La courbure signée change avec l’orientation choisie, mais le rayon ρ reste positif et le point géométrique C ne change pas. Il faut employer une normale cohérente avec le signe, ou utiliser la normale dirigée vers la concavité avec |κ|.
Approximation strictement locale. Le cercle osculateur épouse la courbe au voisinage du point, sans reproduire nécessairement un long arc. Pour prévoir la forme loin de P, il faut revenir à l’équation complète de la courbe.
Pour aller plus loin
Le Cercle osculateur précise pourquoi le cercle partage la tangente et la courbure de la courbe au point de contact.
Le Rayon de courbure approfondit la longueur ρ et son lien inverse avec la courbure.
La Développée étudie la courbe formée par les centres de courbure successifs.
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