Cercle osculateur

Imaginez une loupe posée sur une courbe. Autour du point observé, un cercle peut en épouser le virage : il passe par ce point, part dans la même direction et se courbe de la même façon. Ce cercle est le cercle osculateur.

Un virage serré donne un petit cercle ; une courbe presque droite donne un grand cercle. Le rayon du cercle mesure ainsi, localement, à quel point la courbe tourne.

Soit une courbe plane régulière de classe C², et un point où sa courbure n'est pas nulle. Son cercle osculateur est l'unique cercle qui passe par ce point et possède au même endroit la même tangente et le même vecteur de courbure : il a donc la même courbure et son centre se situe du même côté de la tangente. Ces accords expriment un contact d'ordre au moins 2.

On décrit la courbe par un paramètre t, avec deux coordonnées x(t) et y(t). Lorsque le vecteur vitesse n'est pas nul, la valeur absolue de la courbure, notée κ, vaut : Les dérivées sont prises au paramètre du point considéré. Le rayon de courbure, noté ρ, est alors $\rho =\frac{1}{\kappa }\backslash rho=\backslash frac\{1\}\{\backslash kappa\}$.

Le centre du cercle, appelé centre de courbure, se trouve à la distance ρ sur la normale, du côté vers lequel la courbe tourne. Une orientation de la courbe permet aussi d'employer une courbure signée pour fixer ce côté. Si la courbure est nulle, aucun cercle fini ne peut partager cette courbure ; pour une droite, on parle conventionnellement d'un cercle de rayon infini.

La construction met en relation cinq éléments. Le point de contact appartient à la courbe et au cercle. La tangente fixe leur direction commune en ce point. La courbure mesure l'intensité du virage. La normale, perpendiculaire à la tangente, porte le centre. Enfin, le rayon de courbure relie ce centre au point de contact.

La courbure détermine la longueur du rayon par ρ = 1/κ, tandis que le sens du virage choisit le bon côté de la normale. Le centre et le rayon suffisent alors à construire le cercle.

La couleur, l'épaisseur du tracé et l'échelle du dessin ne définissent pas l'objet. Ce sont les accords du point, de la tangente et de la courbure qui le caractérisent localement.

Considérons la parabole d'équation y = x² au point P de coordonnées (0, 0). Le dessin superpose la courbe, sa tangente et le cercle obtenu par le calcul.

On paramètre la courbe par x(t) = t et y(t) = t².
Le point P correspond à t = 0.
Les dérivées valent x' = 1, y' = 2t, x'' = 0 et y'' = 2.

1. En t = 0, la tangente est horizontale, car le vecteur vitesse vaut (1, 0).

2. La formule de courbure donne :

3. Le rayon vaut donc ρ = 1/2. La parabole tourne vers le haut : le centre C est situé sur la normale verticale, à la distance 1/2 de P, donc C = (0, 1/2).

4. Le cercle osculateur a pour équation : Le contrôle est direct : P appartient au cercle, sa tangente est horizontale et sa courbure vaut 1/(1/2) = 2.

Pour approcher une courbe au voisinage d'un point, la tangente indique seulement la direction. Le cercle osculateur est préférable lorsque le virage local doit aussi être conservé.

Pour lire la courbure, observez le rayon : plus le cercle osculateur est petit, plus le virage est serré. Un rayon très grand signale au contraire une portion presque droite.

Pour construire le cercle à partir d'une courbe paramétrée, on calcule d'abord la courbure, puis son inverse. On place ensuite le centre sur la normale, du côté où la courbe tourne.

La tangente. Elle partage le point et la direction de la courbe, mais sa courbure est nulle. Pour la parabole en P, la tangente est la droite y = 0, tandis que le cercle osculateur a un rayon 1/2.

Un cercle simplement tangent. Plusieurs cercles peuvent passer par P avec une tangente horizontale. Celui de centre (0, 1), par exemple, a un rayon 1 et une courbure 1 : il n'est pas osculateur à la parabole, dont la courbure vaut 2 en P.

Un cercle circonscrit. Il est défini par des points distincts d'une figure, et non par le comportement local d'une courbe. Trois points peuvent fixer un cercle circonscrit sans que celui-ci partage la courbure de la courbe en l'un d'eux.

Courbure nulle. Lorsque κ = 0, le rayon 1/κ n'est pas fini. Il ne faut donc pas tracer un cercle arbitrairement grand ; au point considéré, on signale l'absence de cercle osculateur fini. Pour une droite, la convention du rayon infini revient à retenir sa tangente.

Point non régulier. Si le vecteur vitesse est nul pour le paramétrage choisi, la formule donnée ne s'applique pas. Il faut chercher un paramétrage régulier ou étudier séparément les branches avant de parler de tangente et de courbure.

Côté de la normale. Le rayon positif donne une distance, pas un côté. Placer le centre sur l'autre demi-normale produit un cercle de même rayon, mais dont la courbure orientée a le mauvais signe. Il faut suivre le sens du virage ou fixer une orientation.

Accord seulement local. Le cercle peut s'écarter rapidement de la courbe loin du point de contact. Dans l'exemple, la parabole n'est pas un arc de cercle ; le contrôle porte sur P, sa tangente et sa courbure, non sur tout le tracé.

Le repère de Frenet précise les directions tangente et normale qui servent à situer le centre de courbure.

L'abscisse curviligne fournit un paramètre mesurant la longueur parcourue sur la courbe et simplifie l'étude de la courbure.