theorema egregium

Prenez une feuille rectangulaire et enroulez-la autour d’un cylindre sans l’étirer ni la froisser. Les longueurs mesurées en restant sur la feuille ne changent pas. Pourtant, vue de l’extérieur, la feuille est passée d’un objet plat à un objet courbé.

Le theorema egregium affirme qu’une information résiste à cette déformation : la courbure de Gauss. Elle se déduit entièrement des mesures faites à l’intérieur de la surface. Le plan et le cylindre ont ainsi tous deux une courbure de Gauss nulle, malgré leurs silhouettes différentes dans l’espace.

Le theorema egregium est le théorème par lequel Gauss établit le caractère intrinsèque de la courbure de Gauss d’une surface régulière. La métrique de la surface attribue une longueur aux vecteurs tangents ; elle détermine donc la longueur des courbes et la distance intrinsèque, définie comme la borne inférieure des longueurs des chemins reliant deux points. Une isométrie locale est une application régulière qui, dans un voisinage de chaque point, préserve cette métrique.

Si une isométrie locale f envoie une surface S sur une surface S′, la courbure de Gauss K′ au point image f(p) égale la courbure K au point p :Cette implication est le contenu invariant du théorème. Elle signifie que K peut être calculée à partir des coefficients de la métrique et de leurs dérivées, sans connaître la façon dont la surface est placée dans l’espace ambiant.

Pour une surface de l’espace usuel, on peut aussi obtenir K comme produit des deux courbures principales. Cette définition semble dépendre de la normale et du plongement ; le théorème montre que le produit obtenu n’en dépend pas. La conservation de K est une condition nécessaire à une isométrie locale, mais l’égalité de K en des points mis en correspondance ne suffit pas, en général, à construire une telle isométrie.

Considérons le rectangle ouvert U donné par −2 < u < 2 et 0 < v < 3. Dans le plan, le point de paramètres (u, v) a pour coordonnées (u, v, 0). On l’enroule sur un cylindre de rayon 2 par l’application X suivante. Pour rendre ses bords visibles, la figure représente la fermeture de U ; elle montre le quadrillage du rectangle plan et quelques lignes repères sur son image cylindrique.

1. Quand u varie de −2 à 2, la largeur parcourue sur le cylindre vaut 4. Quand v varie de 0 à 3, la hauteur vaut 3 : les données du rectangle sont conservées.

2. Le vecteur tangent obtenu en faisant varier u vaut (−sin(u/2), cos(u/2), 0). Celui obtenu en faisant varier v vaut (0, 0, 1). Chacun a une longueur 1 et leur produit scalaire est nul.

3. La métrique du cylindre dans ces paramètres est donc exactement celle du plan :L’application X préserve localement longueurs et angles.

4. Sur le cylindre, une courbure principale vaut 0 dans la direction de l’axe ; l’autre a pour valeur absolue 1/2 autour du cercle. Leur produit vaut 0. Le plan a également une courbure de Gauss nulle :Ce double calcul contrôle la conclusion du théorème sur tout le rectangle U.

Pour décider si une surface peut être déployée localement sans étirement, on compare sa courbure de Gauss à celle du plan, qui vaut 0. Si la courbure est non nulle au point étudié, une mise à plat isométrique y est impossible ; il faut accepter une déformation des longueurs.

Pour contrôler une déformation annoncée comme isométrique, on peut calculer la métrique avant et après. Si les coefficients coïncident, le theorema egregium garantit alors la même courbure de Gauss. Une différence de courbure suffit au contraire à rejeter l’isométrie locale.

Dans un calcul de géométrie différentielle, le théorème autorise aussi une voie intrinsèque : on détermine K à partir de la métrique plutôt qu’à partir des courbures principales. Le choix dépend des données disponibles, mais les deux voies doivent conduire à la même valeur.

La courbure de Gauss est le produit des deux courbures principales, tandis que la courbure moyenne en est la demi-somme. Sur le cylindre de rayon 2, la première vaut 0 alors que la seconde n’est pas nulle : ce cas sépare immédiatement les deux notions.

Une isométrie locale préserve la métrique dans de petits voisinages ; un déplacement rigide de l’espace préserve en plus la forme extérieure de tout l’objet. Enrouler le rectangle sur le cylindre est une isométrie locale, mais ce n’est pas un déplacement rigide du rectangle dans l’espace.

La distance intrinsèque se mesure le long des chemins tracés sur la surface. La distance euclidienne ambiante se mesure par le segment droit dans l’espace, quitte à quitter la surface. Deux points du cylindre peuvent donc avoir une distance ambiante plus courte que tout chemin restant sur le cylindre.

Fausse réciproque. Deux surfaces peuvent avoir la même courbure de Gauss aux points que l’on rapproche sans que cette seule égalité fournisse une isométrie locale. Il faut vérifier la métrique complète ou construire une application qui la préserve ; K ne résume qu’une partie de cette information.

Local n’est pas global. Le plan et le cylindre sont localement isométriques, comme le montre l’enroulement du rectangle. Cela ne donne pas une isométrie globale bijective entre le plan entier et le cylindre entier : l’enroulement complet répète les points après un tour.

Surface non régulière. À un pli, une pointe ou une arête, le plan tangent et les courbures principales classiques peuvent ne pas être définis. Le théorème dans sa forme régulière ne s’y applique pas directement ; il faut étudier séparément les zones lisses ou employer un cadre adapté aux singularités.

Courbure nulle. La valeur K = 0 ne signifie pas que la surface paraît plate dans l’espace. Le cylindre de rayon 2 en fournit le cas charnière : une courbure principale vaut 0, donc leur produit est nul, bien que l’autre ait pour valeur absolue 1/2.

Le calcul intrinsèque de la courbure peut être poursuivi à partir des coefficients de la métrique et de leurs dérivées. Cette voie explicite le cœur du résultat : les données de longueur internes suffisent, même lorsque le plongement de la surface change.

En dimension supérieure, la courbure ne se réduit plus à un unique nombre K. Le même principe conduit à étudier des objets de courbure intrinsèques qui décrivent plusieurs directions à la fois, tout en conservant l’idée d’une géométrie déterminée par la métrique.