paraboloïde elliptique

Imaginez un bol lisse, sans bord supérieur, dont le fond se réduit à un point. En partant de ce point, la surface monte dans toutes les directions. Elle peut toutefois monter plus vite dans une direction que dans l'autre : son ouverture paraît alors allongée plutôt que ronde.

Cette forme est un paraboloïde elliptique. Une tranche horizontale au-dessus du fond dessine une ellipse, tandis que deux tranches verticales prises dans les directions principales dessinent des paraboles ouvertes dans le même sens. Quand ces deux directions ont la même courbure, le bol est rond et tourne autour de son axe sans changer d'aspect.

Dans un repère cartésien, les nombres x et y donnent la position horizontale et le nombre z donne la hauteur. Deux paramètres strictement positifs, notés p et q, règlent l'ouverture dans les directions des axes x et y. Le paraboloïde elliptique d'axe vertical est l'ensemble des points qui vérifient : C'est une quadrique, car son équation cartésienne est de degré deux. Son sommet est l'origine et la surface entière vérifie z ≥ 0.

À la hauteur positive h, la coupe horizontale vérifie x²/(2ph) + y²/(2qh) = 1 : c'est une ellipse de demi-axes √(2ph) et √(2qh). Dans le plan y = 0, la coupe est la parabole z = x²/(2p) ; dans le plan x = 0, elle est la parabole z = y²/(2q). Ces deux paraboles, ouvertes vers les z positifs, rendent aussi visible la construction par translation annoncée dans la définition de référence.

Lorsque p = q, toutes les coupes horizontales sont des cercles : la surface est alors un paraboloïde de révolution autour de l'axe z. Lorsque p ≠ q, elles sont des ellipses non circulaires. Les trois coupes coordonnées de l'exemple p = 2 et q = 8 montrent exactement comment une même surface réunit deux paraboles et une ellipse.

Prenons p = 2 et q = 8, puis cherchons la coupe du paraboloïde à la hauteur z = 1. Les données sont donc deux paramètres positifs, p = 2 et q = 8, ainsi qu'un plan horizontal d'équation z = 1.

1. Remplaçons p et q dans l'équation : 2z = x²/2 + y²/8. En divisant par 2, la surface s'écrit z = x²/4 + y²/16.

2. Imposons z = 1. La coupe vérifie x²/4 + y²/16 = 1 : c'est une ellipse centrée sur l'axe vertical.

3. Lisons ses demi-axes. Sur l'axe x, y = 0 donne x² = 4, donc x = −2 ou x = 2. Sur l'axe y, x = 0 donne y² = 16, donc y = −4 ou y = 4. Les demi-axes mesurent donc 2 et 4 unités.

4. Contrôlons avec un autre point : x = 1 et y = 2√3 donnent x²/4 + y²/16 = 1/4 + 12/16 = 1. Ce point appartient bien à la coupe. Le résultat concorde aussi avec la formule générale : √(2ph) = 2 et √(2qh) = 4 pour h = 1.

Dans un four solaire, une surface parabolique sert à concentrer le rayonnement reçu. Le paraboloïde de révolution, cas p = q, convient lorsque le dispositif doit avoir la même ouverture dans toutes les directions autour de son axe ; une surface elliptique non circulaire répond à une géométrie directionnelle différente.

Pour une antenne parabolique, la forme est choisie puis orientée selon l'axe de réception. Le modèle de révolution est adapté à une ouverture circulaire ; des paramètres p et q distincts décrivent au contraire deux ouvertures principales différentes.

Dans un phare de véhicule, une surface parabolique participe à la direction du faisceau. L'équation permet de contrôler séparément les deux coupes principales : modifier p change la courbure dans le plan xz, tandis que modifier q change celle du plan yz.

Le paraboloïde hyperbolique est une autre quadrique. Ses deux termes quadratiques ont des signes opposés : des points de la surface se trouvent alors au-dessus et au-dessous du plan du sommet. Dans le cas elliptique avec p et q positifs, les deux termes ont le même signe et z reste toujours positif ou nul.

Un cône elliptique peut lui aussi avoir des coupes horizontales elliptiques, mais ses génératrices sont des droites et son équation homogène est quadratique. Ici, les coupes verticales principales sont des paraboles : par exemple, avec p = 2 et q = 8, elles vérifient z = x²/4 et z = y²/16.

La condition p > 0 et q > 0 est décisive. Si l'un des deux paramètres devient négatif, les termes quadratiques n'ont plus le même signe et la surface n'est plus un paraboloïde elliptique. Si p ou q vaut 0, l'écriture donnée n'est même pas définie : il ne faut pas y substituer cette valeur.

La coupe horizontale change au niveau charnière z = 0. Pour z > 0, elle est une ellipse ; pour z = 0, elle se réduit au seul sommet (0, 0, 0) ; pour z < 0, elle est vide. Dire que toutes les coupes horizontales sont des ellipses oublierait donc deux cas.

Le mot « elliptique » n'impose pas une ellipse non circulaire. Quand p = q, les ellipses horizontales sont des cercles et le paraboloïde elliptique est précisément de révolution. Enfin, seules certaines coupes planes sont des paraboles : les plans verticaux principaux x = 0 et y = 0 en donnent, alors qu'un plan horizontal positif donne une ellipse.

Le paraboloïde replace le cas elliptique parmi les différentes surfaces qui possèdent des coupes paraboliques.

La quadrique élargit l'étude aux surfaces définies par une équation cartésienne de degré deux et aide à comparer leurs formes.