paraboloïde

Imaginez une surface dont la hauteur change quand on se déplace dans deux directions horizontales. Dans une direction, son profil est une parabole ; dans la direction perpendiculaire, on voit encore une parabole. Si les deux profils se courbent du même côté, la surface forme un bol : c’est le type elliptique. S’ils se courbent en sens opposés, elle prend une forme de selle : c’est le type hyperbolique.

Lorsque les deux coefficients placés devant les carrés sont non nuls, la comparaison de leurs signes suffit à départager ces formes.

Dans un repère cartésien de l’espace, les lettres x et y désignent les coordonnées horizontales, tandis que z désigne la hauteur. Un paraboloïde est une quadrique, c’est-à-dire une surface définie ici par une équation du second degré. Dans la forme alignée sur les axes, ses coefficients réels a et b sont non nuls et son équation est $a{x}^2+b{y}^2=za\; x^2+b\; y^2=z$.

Lorsque le produit ab est positif, a et b ont le même signe : le paraboloïde est elliptique. Les coupes verticales obtenues en fixant x = 0 ou y = 0 sont alors des paraboles tournées du même côté. Lorsque ab est négatif, les coefficients ont des signes opposés : le paraboloïde est hyperbolique, et ces deux coupes sont tournées en sens contraires. La comparaison graphique des modèles z = x² + y² et z = x² − y² rend ce critère visible.

Dans le cas elliptique, les deux coefficients positifs donnent une surface ouverte vers les z positifs ; s’ils sont tous deux négatifs, elle s’ouvre vers les z négatifs. Le type dépend donc du signe de leur produit, tandis que leur valeur absolue règle l’étirement dans chaque direction horizontale.

Considérons le paraboloïde d’équation z = x² + y² et le point de coordonnées horizontales x = 1 et y = 2. Les données sont donc les coefficients a = 1 et b = 1, puis x = 1 et y = 2. Le produit ab vaut 1 : la surface est de type elliptique.

1. On calcule les deux carrés : 1² = 1 et 2² = 4.
2. On additionne les résultats : z = 1 + 4 = 5.
3. Le point obtenu dans l’espace est donc (1, 2, 5).

Le contrôle consiste à remplacer les trois coordonnées dans l’équation : 5 = 1² + 2², soit 5 = 5. Le point appartient bien à la surface. À la hauteur z = 5, les points de la coupe horizontale vérifient x² + y² = 5 ; le point choisi est bien sur cette coupe puisque 1² + 2² = 5.

Pour classer une équation ax² + by² = z, on vérifie d’abord que a et b sont non nuls : si l’un est nul, on obtient un cas dégénéré à traiter séparément. On regarde ensuite leur signe. Des signes identiques indiquent le type elliptique ; des signes opposés indiquent le type hyperbolique. Ce test est préférable à une estimation visuelle lorsque le dessin est déformé par la perspective.

Pour esquisser la surface, on fixe successivement y = 0 puis x = 0. Les deux paraboles obtenues montrent immédiatement si les courbures vont dans le même sens ou dans des sens opposés.

Pour tester un point donné, on calcule ax² + by² avec ses coordonnées horizontales, puis on compare exactement le résultat à sa coordonnée z. Cette substitution tranche sans dépendre du tracé.

Une parabole. Une parabole est une courbe plane, tandis qu’un paraboloïde est une surface de l’espace. Le critère est le nombre de coordonnées nécessaires : z = x² trace une courbe dans un plan ; z = x² + y² décrit une surface. Une coupe verticale du paraboloïde peut toutefois être une parabole.

Un paraboloïde de révolution. Ce nom ne couvre pas tous les paraboloïdes. Dans la forme ax² + by² = z, la rotation autour de l’axe vertical apparaît lorsque les deux coefficients sont égaux. Ainsi, z = x² + y² est de révolution, alors que z = x² + 2y² reste elliptique sans avoir la même symétrie.

Coefficient nul. La classification annoncée suppose a ≠ 0 et b ≠ 0. Si l’un des deux vaut zéro, la hauteur ne dépend plus de l’une des coordonnées : le produit ab vaut alors zéro, et il ne faut conclure ni « elliptique » ni « hyperbolique » avec ce critère.

Ouverture vers le bas. Deux coefficients négatifs donnent encore ab > 0. Le paraboloïde reste elliptique, mais il s’ouvre vers les z négatifs ; « elliptique » ne signifie donc pas automatiquement « tourné vers le haut ».

Repère non adapté. L’équation ax² + by² = z place le sommet à l’origine et aligne la surface sur les axes choisis. Une translation ou une rotation du repère peut masquer cette écriture simple. Il faut alors ramener l’équation à une forme alignée avant d’appliquer le test du signe de ab.

Dessin en perspective. Une vue aplatie peut faire paraître identiques des coupes de sens contraires. Le symptôme est un croquis ambigu ; le bon contrôle consiste à fixer x = 0 puis y = 0 et à lire algébriquement les deux paraboles.

Le glossaire quadrique situe le paraboloïde dans l’ensemble des surfaces du second degré.

Le paraboloïde elliptique approfondit le cas où les deux coefficients ont le même signe.

Le paraboloïde hyperbolique développe la forme en selle produite par des signes opposés.

Le paraboloïde de révolution précise le cas symétrique où les deux directions horizontales jouent le même rôle.