Hyperboloïde

Imaginez une tour dont la paroi se resserre au milieu, puis s'élargit vers le haut et le bas. Ce profil évoque un hyperboloïde à une nappe : toute la surface reste d'un seul tenant.

Une autre forme présente deux calottes séparées, l'une au-dessus et l'autre au-dessous d'une zone vide : c'est l'hyperboloïde à deux nappes. Dans les deux cas, trois longueurs règlent l'étirement de la surface selon les trois directions de l'espace.

Un hyperboloïde est une quadrique, c'est-à-dire une surface de l'espace décrite par une équation du second degré. Dans la forme canonique orientée selon l'axe vertical, les lettres x, y et z désignent les coordonnées d'un point. Les nombres réels a, b et c sont des longueurs strictement positives qui règlent l'échelle dans chaque direction.

L'hyperboloïde à une nappe vérifie $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=1$. Il est connexe : on peut se déplacer sur sa surface sans passer d'une composante à une autre. Il est aussi doublement réglé, car chacun de ses points appartient à une droite de chacune de deux familles. Topologiquement, cette surface est équivalente à un cylindre.

L'hyperboloïde à deux nappes vérifie $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}+\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=-1$ et possède deux composantes séparées. Si a = b, les deux variantes sont des surfaces de révolution autour de l'axe z. Si a ≠ b, les sections horizontales de l'hyperboloïde à une nappe restent elliptiques sans symétrie de révolution ; celles de l'hyperboloïde à deux nappes sont vides pour |z| < c, réduites à un point pour |z| = c et elliptiques pour |z| > c. Une section par un plan contenant l'axe z fait apparaître les profils comparés dans la figure.

On compare deux surfaces ayant les mêmes paramètres : a = 2, b = 2 et c = 1. On teste le point P de coordonnées x = 4, y = 0 et z = √3.

Étape 1. Calculer les trois termes : x²/a² = 4²/2² = 4, y²/b² = 0²/2² = 0 et z²/c² = (√3)²/1² = 3.

Étape 2. Effectuer la combinaison signée : 4 + 0 − 3 = 1. Le point P appartient donc à l'hyperboloïde à une nappe.

Étape 3. Pour la variante à deux nappes, le membre de gauche devrait valoir −1. Comme il vaut 1, le même point P n'appartient pas à cette seconde surface.

Le contrôle se refait sans approximation : (√3)² vaut exactement 3. À la hauteur z = √3, la section horizontale de la première surface est un cercle de rayon 4, ce qui confirme que P, situé à quatre unités de l'axe, est bien sur cette section.

En géométrie spatiale, on substitue les coordonnées d'un point dans l'équation canonique. Une valeur égale à 1 sélectionne la variante à une nappe ; une valeur égale à −1 sélectionne celle à deux nappes.

Pour modéliser une forme d'un seul tenant, on retient l'hyperboloïde à une nappe. Lorsque l'objet recherché doit comporter deux parties séparées, l'équation à second membre −1 fournit l'autre variante.

En ingénierie, la silhouette à une nappe intervient notamment dans la conception des tours de refroidissement. Son caractère réglé donne aussi une lecture géométrique précise : la surface porte deux familles de droites.

Une hyperbole. L'hyperbole est une courbe plane, tandis que l'hyperboloïde est une surface dans l'espace. Une équation à deux coordonnées décrit la première ; l'équation canonique de l'hyperboloïde fait intervenir x, y et z.

Un cône. Le resserrement central de l'hyperboloïde à une nappe ne se termine pas en pointe : à z = 0, sa section vérifie x²/a² + y²/b² = 1. La présence de cette ellipse non réduite à un point tranche visuellement.

Paramètres nuls. Les formes canoniques données supposent a, b et c strictement positifs. Si l'un vaut 0, un dénominateur s'annule : l'équation n'est plus définie et il faut employer une autre écriture avant de classifier la quadrique.

Révolution non automatique. L'égalité a = b produit une symétrie de révolution autour de l'axe z. Si a ≠ b, les sections horizontales non vides sont des ellipses, sauf aux sommets de l'hyperboloïde à deux nappes où elles se réduisent à un point ; pour cette variante, elles sont vides lorsque |z| < c. Faire tourner un seul profil autour de z ne reconstruit pas la surface.

Orientation de l'axe. Dans les équations présentées, le terme négatif porte sur z² et fixe l'axe distingué. Une permutation des coordonnées peut orienter le même type de surface selon x ou y ; le dessin ne suffit donc pas pour attribuer les lettres.

Connexité. Le signe du second membre ne constitue pas un détail graphique. Avec les signes écrits ici, 1 donne une seule nappe connexe, tandis que −1 impose deux composantes ; aucun chemin porté par la surface ne relie alors l'une à l'autre.

quadrique. Situer l'hyperboloïde dans la famille des surfaces définies par une équation du second degré.

hyperbole. Approfondir la courbe obtenue dans certaines sections planes d'un hyperboloïde.

cône. Comparer une surface à pointe avec le col elliptique non dégénéré de l'hyperboloïde à une nappe.