théorème de Dandelin

Imaginez un cône coupé en biais par un plan : la trace obtenue est une ellipse. On peut glisser dans le cône deux sphères qui touchent à la fois sa paroi et le plan de coupe. Chacune effleure ce plan en un point. Le théorème de Dandelin affirme que ces deux points sont précisément les foyers de l'ellipse.

Une construction dans l'espace fait ainsi apparaître des points qui gouvernent une courbe plane. Elle relie la définition de l'ellipse comme section d'un cône à sa description par les distances aux foyers.

Le théorème de Dandelin, aussi appelé théorème de Dandelin-Quételet, concerne une conique obtenue par l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan sécant. Il introduit des sphères inscrites dans le cône, tangentes à sa surface et au plan sécant. Les points où ces sphères touchent le plan sont les foyers de la conique.

Chaque sphère touche le cône suivant un cercle. Pour l'ellipse et l'hyperbole, le plan qui contient ce cercle coupe le plan sécant suivant une droite : cette droite est la directrice associée au foyer correspondant. La parabole constitue un cas limite et sa directrice demande une construction spécifique. Dans le cas conducteur d'une ellipse, deux sphères placées dans la même nappe du cône fournissent les deux foyers et les deux directrices. Cette correspondance relie donc la définition spatiale par section conique aux définitions planes faisant intervenir foyers et directrices.

Le résultat a été établi en 1822 par Germinal Dandelin et Adolphe Quételet. En 1826, Dandelin l'a prolongé à un hyperboloïde de révolution et a relié cette étude aux hexagones de Pascal et de Brianchon ainsi qu'à l'hexagone formé par les génératrices de l'hyperboloïde.

Si un plan coupe un cône de révolution suivant une conique et si une sphère inscrite dans le cône est tangente à ce plan, alors le point de tangence de la sphère avec le plan est un foyer de la conique. Pour l'ellipse et l'hyperbole, le plan du cercle suivant lequel la sphère touche le cône rencontre le plan sécant suivant la directrice associée ; pour la parabole, la directrice s'obtient par une construction limite spécifique. Pour l'ellipse conductrice, les deux sphères donnent ainsi les deux couples foyer-directrice.

Le cadre comprend un cône de révolution, un plan qui le coupe suivant une conique et une sphère tangente à la fois au cône et à ce plan. Il faut distinguer deux contacts : la sphère touche le plan en un point, mais elle touche le cône suivant un cercle. Le premier contact fournit un foyer. Pour l'ellipse et l'hyperbole, le plan du second fournit une directrice par intersection avec le plan sécant ; la parabole demande une construction limite spécifique de sa directrice.

Si le plan passe par le sommet du cône, la section peut devenir dégénérée et ne forme plus la conique ordinaire visée par cette construction. Il faut alors étudier directement les droites ou le point obtenus, au lieu de leur attribuer les foyers de l'ellipse conductrice. De même, un plan sans point commun avec le cône ne fournit aucune section à caractériser.

On coupe une nappe d'un cône de révolution par un plan oblique et la section est une ellipse. Les données sont le cône, le plan sécant et les deux sphères inscrites, chacune tangente au cône et au plan. La figure en coupe axiale rend visibles les contacts utiles sans remplacer la construction dans l'espace.

1. On repère le point F₁ où la première sphère touche le plan sécant.
2. On repère de même le point F₂ pour la seconde sphère.
3. Le théorème identifie F₁ et F₂ comme les deux foyers de l'ellipse.
4. Pour chaque sphère, on considère le plan de son cercle de contact avec le cône.
5. L'intersection de ce plan avec le plan sécant donne la directrice associée au foyer.

Le contrôle est géométrique : chaque foyer doit être sur le plan de l'ellipse, tandis que chaque cercle de contact doit rester sur la surface du cône. Les deux types de tangence ne doivent pas être intervertis.

Pour retrouver les foyers d'une ellipse présentée comme section d'un cône, on cherche les sphères inscrites tangentes au plan de coupe. Leurs points de contact avec ce plan donnent les foyers sans partir d'une équation cartésienne.

Pour justifier qu'une section conique possède aussi une description foyer-directrice, on suit les cercles de contact des sphères avec le cône. Si la conique est déjà donnée par une équation dans un repère, une méthode analytique est plus directe pour obtenir des coordonnées numériques.

Dans une démonstration, les segments tangents issus d'un même point vers une sphère ont la même longueur. Cette égalité transforme la géométrie du cône en relations de distances dans le plan sécant.

Foyer et centre de l'ellipse. Un foyer est un point de tangence d'une sphère avec le plan sécant ; le centre est le milieu des deux foyers. Dans une ellipse non circulaire, un foyer n'est donc pas le centre.

Point de contact et cercle de contact. La sphère touche le plan sécant en un point, qui devient un foyer. Elle touche la surface du cône suivant un cercle ; c'est le plan de ce cercle, et non le cercle seul, qui coupe le plan sécant suivant une directrice.

Section dégénérée. Lorsque le plan sécant passe par le sommet du cône, la section peut se réduire à un point, une droite ou deux droites. Le vocabulaire ordinaire des foyers et directrices de l'ellipse, de la parabole ou de l'hyperbole ne s'y transfère pas automatiquement.

Nombre de sphères. Les deux sphères de l'exemple décrivent une ellipse. Pour une parabole, la construction usuelle n'emploie qu'une sphère pertinente et ne produit qu'un couple foyer-directrice. Il faut donc adapter le décompte au type de section au lieu de chercher systématiquement deux contacts dans le même arrangement.

Figure en coupe. Dans un dessin axial, les sphères apparaissent comme des disques et le plan sécant comme une droite. Ce dessin permet de lire les tangences, mais la conique et ses directrices appartiennent au plan sécant dans l'espace.

La fiche conique situe l'ellipse, la parabole et l'hyperbole dans la même famille de sections planes.

La fiche ellipse approfondit la courbe utilisée ici comme exemple conducteur et ses deux foyers.

La fiche Directrice précise le rôle de la droite associée à un foyer dans la définition plane d'une conique.