point de Frégier

Tracez un point M sur une ellipse, puis deux droites perpendiculaires passant par M. Chacune recoupe l’ellipse en un nouveau point, nommé A ou B. La droite passant par A et B passe alors par un point qui ne bouge pas, même lorsque les deux droites tournent autour de M.

Ce point fixe est le point de Frégier associé à M. Il dépend donc à la fois de la conique choisie et de la position de M sur cette conique.

On se place dans le plan euclidien et l’on considère une conique non dégénérée ainsi qu’un point M de cette conique. Deux droites perpendiculaires passant par M recoupent la conique en deux points finis A et B distincts de M. On exclut donc les positions tangentes et, pour une hyperbole, les directions parallèles aux asymptotes. Le segment [AB] est alors une corde vue depuis M sous l’angle droit ∠AMB. Le théorème de Frégier affirme que, dans la complétion projective du plan, toutes les droites (AB) ainsi obtenues sont concourantes en un point fixe F. Lorsque F appartient au plan euclidien, c’est le point de Frégier fini de M ; pour certaines hyperboles, F est à l’infini.

Le point M reste fixé tandis que la paire de droites perpendiculaires tourne. Les points A et B changent, mais F ne change pas. Cette invariance intervient dans une construction géométrique de la tangente à la conique en M.

Lorsque M parcourt une ellipse, une parabole ou une hyperbole, et à condition que les points de Frégier considérés soient finis et que leur lieu ne soit pas dégénéré, ils forment une autre conique de même nature et de même centre lorsqu’un centre existe. Sans ces conditions, le lieu peut dégénérer ou comporter des points à l’infini. Le cercle constitue un cas symétrique particulier : son point de Frégier est son centre pour tout M.

Prenons l’ellipse d’équation $\frac{x^2}{4}+y^2=1\backslash frac\{x^2\}\{4\}+y^2=1$. Le point choisi est M = (2 ; 0). Les deux droites passant par M ont pour pentes 1 et −1 ; elles sont donc perpendiculaires.

1. La droite de pente 1 recoupe l’ellipse en A = (6/5 ; −4/5).
2. La droite de pente −1 recoupe l’ellipse en B = (6/5 ; 4/5).
3. Les deux points ont la même abscisse. La corde [AB] est donc portée par la droite d’équation x = 6/5.
4. Son intersection avec l’axe horizontal est F = (6/5 ; 0).

Le contrôle de l’angle est direct : les vecteurs allant de M vers A et B sont respectivement (−4/5 ; −4/5) et (−4/5 ; 4/5), et leur produit scalaire vaut 0. Prenons maintenant les pentes 2 et −1/2, dont le produit vaut −1 : les deux droites sont perpendiculaires. Elles recoupent l’ellipse en C = (30/17 ; −8/17) et D = (0 ; 1). La corde [CD] est portée par la droite d’équation y = 1 − 5x/6. Elle coupe la première corde x = 6/5 au point (6/5 ; 0), qui est bien F. La figure rend visibles l’angle droit en M et l’alignement de A, F et B.

Pour construire le point de Frégier d’un point M, on choisit deux paires différentes de droites perpendiculaires passant par M. Chaque paire donne une corde. L’intersection des deux droites qui portent ces cordes est le point cherché.

Pour contrôler un tracé, on recommence avec une troisième paire perpendiculaire. La nouvelle corde doit passer par la même intersection. Si elle s’en écarte, il faut d’abord vérifier l’angle droit et les intersections avec la conique.

Cette construction est utile lorsqu’on travaille à la règle et à l’équerre sur une conique déjà tracée. Si une équation de la conique est disponible, le calcul analytique de la tangente est souvent l’alternative la plus directe.

Avec un foyer de la conique. Un foyer est attaché à la conique elle-même, tandis que le point de Frégier varie avec le point M choisi. Sur l’ellipse de l’exemple, F = (6/5 ; 0) est le point de Frégier de M = (2 ; 0), sans être un foyer.

Avec le point de tangence. Le point de tangence est M, puisqu’il appartient à la conique et à sa tangente. Le point de Frégier F est au contraire le point commun aux droites qui portent les cordes [AB] issues des paires perpendiculaires.

Une seule corde ne suffit pas. Elle donne une droite contenant le point de Frégier, mais pas sa position. Il faut construire au moins deux cordes distinctes ; si leurs supports sont presque confondus, une troisième corde rend le repérage plus fiable.

L’angle droit est une hypothèse, pas un effet du dessin. Si les deux droites passant par M ne sont pas perpendiculaires, leurs cordes n’ont aucune raison de conserver le même point de concours. Il faut contrôler l’angle avant de conclure.

Le cercle est exceptionnel. Toute corde vue sous un angle droit depuis un point M du cercle est un diamètre. Toutes passent par le centre, qui reste donc le même point de Frégier quand M varie ; le lieu se réduit à un point.

Les positions limites demandent une tangente. Quand l’un des seconds points d’intersection tend vers M, la sécante correspondante tend vers la tangente en M. Il faut alors raisonner par cette position limite, et non compter deux points d’intersection distincts qui ont fusionné.

Le glossaire conique replace l’ellipse, la parabole et l’hyperbole dans une même famille, ce qui éclaire le domaine du théorème de Frégier.

Le prolongement naturel consiste à suivre F lorsque M se déplace. On obtient alors un problème de lieu géométrique : déterminer la conique parcourue par les points de Frégier et étudier ses cas dégénérés.