GéométrieNotion · Glossaire
Axe focal
L'axe focal d'une conique (ellipse non circulaire, hyperbole ou parabole) est l'axe de symétrie passant par le ou les foyers de la courbe. Pour une ellipse non circulaire ou une hyperbole, l'axe focal est l'axe reliant les deux foyers, aussi appelé grand axe pour l'ellipse. Pour une parabole, l'axe focal est l'axe de symétrie passant par le foyer et perpendiculaire à la directrice. Le ou les sommets principaux de la conique se trouvent sur l'axe focal, et cette droite joue un rôle central dans les équations réduites des coniques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la droite qui constitue l’axe focal selon le type de conique.
- Calculer et contrôler les foyers d’une ellipse donnée par son équation réduite.
- Distinguer l’axe focal de la directrice, du petit axe et du segment du grand axe.
- Reconnaître les cas où l’axe focal n’est pas unique ou n’est pas aligné sur le repère.
En clair
Imaginez une ellipse dessinée autour de deux points fixes. La droite qui traverse ces deux foyers coupe la courbe à ses deux extrémités les plus éloignées : c’est son axe focal. Elle partage aussi la figure en deux moitiés symétriques.
La même idée s’adapte à l’hyperbole. Pour une parabole, qui ne possède qu’un foyer, l’axe focal passe par ce point et rencontre la directrice à angle droit.
Définition
Pour une conique non dégénérée autre qu’un cercle, l’axe focal est une droite de symétrie qui contient son foyer ou ses foyers. Il fixe une direction privilégiée et porte les sommets principaux, c’est-à-dire ceux situés dans la direction des foyers. Dans une équation réduite, choisir cet axe comme axe de coordonnées simplifie la lecture des foyers et des sommets.
Une ellipse non circulaire possède deux foyers distincts : leur droite est l’axe focal, souvent nommé grand axe par extension. Une hyperbole possède également deux foyers ; la droite qui les joint traverse ses deux branches et porte ses sommets. Une parabole ne possède qu’un foyer. Son axe focal est alors l’unique axe de symétrie passant par ce foyer et perpendiculaire à la directrice.
Le cercle demande une convention particulière : ses deux foyers coïncident avec le centre, si bien qu’ils ne déterminent aucune droite unique. Toute droite passant par le centre est un axe de symétrie, mais aucune direction ne joue le rôle privilégié du grand axe d’une ellipse non circulaire.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, on considère une ellipse centrée à l’origine. La coordonnée horizontale est notée x et la coordonnée verticale y. Son équation réduite est :
Les données sont les carrés 25 et 9 des deux demi-axes. Le plus grand dénominateur est sous x² : le demi-grand axe horizontal, noté a, vaut donc 5, tandis que le demi-petit axe, noté b, vaut 3.
1. L’axe focal est l’axe horizontal, car il porte le demi-grand axe.
2. La distance du centre à chaque foyer, notée c, vérifie :
4. Les foyers ont donc pour coordonnées (−4 ; 0) et (4 ; 0). Les sommets principaux sont (−5 ; 0) et (5 ; 0).
2. La distance du centre à chaque foyer, notée c, vérifie :
3. Comme c est une distance positive, c = 4.
4. Les foyers ont donc pour coordonnées (−4 ; 0) et (4 ; 0). Les sommets principaux sont (−5 ; 0) et (5 ; 0).
La figure matérialise sur une même droite les deux foyers, le centre et les sommets principaux de cette ellipse.
Le contrôle est refaisable : 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5². La relation entre les deux demi-axes et la distance focale est donc satisfaite.
En pratique
Pour lire une équation réduite d’ellipse, on compare les deux demi-axes. La direction du plus grand est l’axe focal ; si les deux sont égaux, la courbe est un cercle et aucune direction focale n’est privilégiée.
Pour esquisser une ellipse ou une hyperbole, on trace d’abord la droite des foyers. Elle donne la direction des sommets principaux et organise ensuite le dessin symétrique de la courbe.
Pour une parabole définie par un foyer et une directrice, on mène par le foyer la perpendiculaire à la directrice. Cette droite est préférée à une direction choisie à l’œil, car elle fournit l’axe exact de symétrie.
À ne pas confondre
Axe focal et directrice. Pour une parabole, l’axe focal passe par le foyer, tandis que la directrice ne le contient pas et lui est perpendiculaire. Le foyer permet donc de trancher immédiatement.
Axe focal et petit axe d’une ellipse. Tous deux sont des axes de symétrie, mais seul l’axe focal contient les deux foyers. Dans l’exemple d’équation x²/25 + y²/9 = 1, il est horizontal ; le petit axe est vertical.
Droite et segment du grand axe. L’axe focal est une droite illimitée. Le grand axe peut aussi désigner le segment joignant les deux sommets principaux, ou sa longueur ; le contexte et la présence d’une mesure les distinguent.
Limites et pièges
Ellipse devenue cercle. Lorsque les deux demi-axes ont la même longueur, la distance focale vaut 0 et les foyers coïncident avec le centre. Il ne faut plus chercher un axe focal unique : toute droite passant par le centre est un axe de symétrie.
Équation dans un repère tourné. L’axe focal n’est pas nécessairement horizontal ou vertical sur la feuille. Si l’équation n’est pas réduite, il faut d’abord déterminer les directions propres à la conique au lieu de choisir l’axe des abscisses par habitude.
Mot « sommets » ambigu pour l’ellipse. Les deux sommets principaux appartiennent à l’axe focal, mais les deux extrémités du petit axe n’y appartiennent pas. Il faut préciser « sommets principaux » lorsque les quatre extrémités sont appelées sommets.
Conique dégénérée. Une équation du second degré peut se réduire à des droites, à un point ou à l’ensemble vide. Les foyers et l’axe focal usuels ne s’y transfèrent pas automatiquement ; il faut d’abord identifier la nature exacte de l’ensemble obtenu.
Pour aller plus loin
La notion de conique replace ellipse, hyperbole et parabole dans une même famille géométrique.
Les entrées parabole et Directrice précisent le cas à un seul foyer et la perpendicularité qui détermine son axe focal.
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