GéométrieNotion · Glossaire
Excentricité
L'excentricité d'une conique est le rapport constant de la distance d'un point de la conique à un foyer sur sa distance à la directrice correspondante. Pour une ellipse, l'excentricité e vérifie 0 ≤ e < 1. Pour une parabole, e = 1. Pour une hyperbole, e > 1. Le cercle correspond à e = 0. Plus l'excentricité est proche de 1 pour une ellipse, plus celle-ci est allongée. L'excentricité détermine entièrement le type et la forme de la conique à similitude près.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l’excentricité au rapport constant entre distance au foyer et distance à la directrice.
- Classer ellipse, parabole et hyperbole à partir des seuils 0, 1 et au-delà de 1.
- Calculer e = 0,8 pour une ellipse de demi-axes 5 et 3, puis contrôler le rapport géométrique.
- Distinguer l’excentricité sans unité de la distance focale et de la taille d’une conique.
En clair
Imaginez plusieurs ellipses de même largeur : certaines sont presque rondes, d’autres très étirées. Un nombre résume cette différence de forme : l’excentricité. Pour une ellipse, il part de 0 pour le cercle et se rapproche de 1 quand la courbe s’allonge. La valeur 1 caractérise une parabole ; une valeur supérieure à 1, une hyperbole.
Ce nombre compare, pour chaque point de la courbe, sa distance à un foyer et sa distance à une droite associée, appelée directrice. Le quotient reste le même partout sur la conique.
Définition
Une conique non circulaire possède un foyer F et une directrice d associés. Pour tout point M de la conique, le quotient de la distance MF par la distance de M à la droite d est constant. Cette constante positive est l’excentricité, notée e : . Le foyer et la directrice doivent appartenir à la même paire associée.
La valeur de e classe la conique. Une ellipse non circulaire vérifie 0 < e < 1. Le cercle est le cas limite e = 0. Une parabole vérifie e = 1. Une hyperbole vérifie e > 1. Pour une ellipse de demi-grand axe a et de distance focale c entre son centre et un foyer, on a .
L’excentricité ne mesure pas la taille. Deux coniques obtenues l’une de l’autre par un agrandissement ont la même valeur de e. Elle fixe en revanche leur type et leur forme à similitude près. Parmi les ellipses, une valeur proche de 0 indique une forme presque circulaire ; une valeur proche de 1 indique une forme très allongée.
Un exemple, pas à pas
Considérons l’ellipse d’équation .
Données :
Le demi-grand axe vaut a = 5 unités.
Le demi-petit axe vaut b = 3 unités.
La distance du centre à un foyer est notée c.
Le foyer droit est F(4, 0).
Données :
Le demi-grand axe vaut a = 5 unités.
Le demi-petit axe vaut b = 3 unités.
La distance du centre à un foyer est notée c.
Le foyer droit est F(4, 0).
1. Pour une ellipse, les trois longueurs vérifient . Ainsi, unités.
2. L’excentricité est le quotient de c par a : . Comme 0 ≤ 0,8 < 1, le résultat confirme qu’il s’agit d’une ellipse.
3. La directrice associée au foyer droit a pour équation .
4. Contrôlons avec le sommet droit M(5, 0). Sa distance au foyer vaut MF = 1 unité, et sa distance à la directrice vaut 6,25 − 5 = 1,25 unité. Le quotient vaut 1 ÷ 1,25 = 0,8 : on retrouve l’excentricité calculée.
La figure de l’ellipse permet d’observer le foyer F, le point M et la directrice dont les deux distances donnent le rapport 0,8.
En pratique
Pour identifier une conique définie par un foyer et une directrice, on calcule le rapport des deux distances. Une valeur strictement comprise entre 0 et 1 indique une ellipse ; 1 indique une parabole ; une valeur supérieure à 1 indique une hyperbole.
Pour comparer la forme de deux ellipses de tailles différentes, l’excentricité est préférable aux longueurs des axes. Les agrandissements changent ces longueurs, mais ils conservent e. L’ellipse dont e est le plus proche de 1 est la plus allongée.
Pour contrôler un tracé, on choisit plusieurs points de la courbe et on refait le quotient distance au foyer sur distance à la directrice. Si les résultats diffèrent, le foyer, la directrice ou le tracé ne correspondent pas à la même conique.
À ne pas confondre
Excentricité e et distance focale c. L’excentricité est un rapport sans unité, tandis que c est une longueur entre le centre et un foyer. Pour l’ellipse de l’exemple, c = 4 unités mais e = 0,8. Un agrandissement change c et conserve e.
Excentricité et taille de la conique. Une grande ellipse et une petite ellipse peuvent avoir la même excentricité. Si l’une est un agrandissement de l’autre, leurs axes diffèrent mais leur forme à similitude près, donc leur valeur de e, reste identique.
Limites et pièges
Le seuil e = 1 change le type de conique. Une ellipse peut être très allongée tant que e reste strictement inférieur à 1. À e = 1, ce n’est plus une ellipse mais une parabole ; au-delà, c’est une hyperbole.
Le cercle demande une lecture limite. Il correspond à e = 0 : ses foyers se confondent avec le centre, et la distance de chaque point au foyer vaut alors le rayon, non zéro. Ce cas ne peut pas être représenté par un couple foyer-directrice avec une directrice finie ordinaire ; on traite donc le cercle comme le cas limite des ellipses.
Le mot « correspondante » est essentiel. Une ellipse et une hyperbole possèdent plusieurs couples foyer-directrice. Mélanger un foyer avec la directrice de l’autre couple détruit la constance du quotient. Il faut vérifier l’association avant tout calcul.
Un seul point ne suffit pas à établir la constance. Le quotient obtenu en un point peut être accidentel. Pour contrôler une courbe tracée, on le recalcule en plusieurs points avec le même foyer et la même directrice.
Pour aller plus loin
conique — Situe l’excentricité parmi les différentes manières de définir et de reconnaître cette famille de courbes.
ellipse — Approfondit le cas 0 ≤ e < 1, ses foyers et sa géométrie propre.
parabole — Étudie le cas charnière e = 1, où les distances au foyer et à la directrice sont égales.
hyperbole — Prolonge la classification vers e > 1 et la géométrie de cette conique.
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