ligne aplanétique

Imaginez que le centre d'un cercle glisse le long d'une courbe. À chaque position, le rayon du cercle s'ajuste pour que le cercle touche une autre courbe, fixe, sans la traverser localement. La famille de cercles ainsi obtenue dessine aussi une seconde courbe qu'ils effleurent tous : la ligne aplanétique.

La trajectoire des centres est la directrice. La courbe fixe déjà touchée est la ligne polaire. La ligne polaire et la ligne aplanétique forment les deux enveloppes conjuguées de cette même famille de cercles par rapport à la directrice.

Dans un plan, on fixe une courbe appelée directrice et une seconde courbe appelée ligne polaire. Le centre d'un cercle parcourt la directrice ; à chaque position où la construction est possible, son rayon est choisi pour que le cercle soit tangent à la ligne polaire. Une enveloppe est une courbe tangente aux positions successives d'une famille de courbes. L'autre enveloppe de cette famille de cercles est la ligne aplanétique. La ligne polaire et la ligne aplanétique sont dites conjuguées par rapport à la directrice.

La construction exige donc davantage qu'une collection de cercles qui coupent une même courbe : la tangence à la polaire doit être maintenue pendant le déplacement du centre, et la ligne aplanétique doit elle-même être enveloppée par la famille. Suivant les courbes choisies, le rayon peut ne pas être défini partout, plusieurs tangences peuvent être possibles ou une enveloppe peut présenter un point singulier.

Cette notion plane généralise l'aplanétisme de l'optique géométrique : un système aplanétique donne d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique une image plane également perpendiculaire, sans distorsion géométrique. Dans l'étude des ovales, les surfaces aplanétiques possèdent deux foyers ; les rayons vecteurs menés d'un point de la surface vers ces foyers sont pondérés par des constantes liées au rapport de réfraction. Ce cadre rattache la notion aux recherches de Descartes sur des lentilles asphériques corrigeant les aberrations géométriques.

Prenons pour directrice l'axe horizontal d'équation y = 0 et pour ligne polaire la droite d'équation y = x. Le centre C_t dépend d'un paramètre positif t.

Données :
centre C_t = (t, 0), avec t > 0 ;
distance de C_t à la polaire : t/√2 ;
rayon du cercle Γ_t : r_t = t/√2.

1. Pour un point de coordonnées (x, y), écrire l'équation du cercle Γ_t :

2. À un point de l'enveloppe, l'équation du cercle et sa dérivée par rapport au paramètre t s'annulent ensemble. La seconde condition donne t − 2x = 0, donc t = 2x.
3. Remplacer t par 2x dans l'équation du cercle : y² = x².
4. Les deux branches sont y = x et y = −x pour x > 0. La première est la polaire fixée ; la seconde est la ligne aplanétique.

Contrôlons avec t = 4. Le cercle a pour centre (4, 0) et pour rayon 2√2. Les points (2, 2) sur la polaire et (2, −2) sur la ligne aplanétique sont chacun à la distance 2√2 du centre ; les rayons correspondants sont perpendiculaires aux deux droites.

Pour construire une ligne aplanétique, on choisit plusieurs centres sur la directrice, puis on trace à chaque centre un cercle tangent à la polaire. Le contour que ces cercles effleurent de l'autre côté fait apparaître l'enveloppe recherchée.

Pour vérifier une construction analytique, on écrit une équation de la famille dépendant de la position du centre. On cherche ensuite les points où cette équation et sa variation par rapport au paramètre s'annulent ensemble. Cette méthode est préférable à une lecture seulement visuelle lorsque les cercles se recouvrent fortement.

En optique, le vocabulaire aplanétique invite à examiner l'image d'un objet plan et les aberrations géométriques. Une construction par enveloppe décrit la généralisation plane ; pour une surface à deux foyers, il faut plutôt contrôler les rayons vecteurs pondérés et le rapport de réfraction.

Une ligne aplanétique n'est pas un système optique aplanétique. La première est une enveloppe plane de cercles ; le second transforme un objet plan perpendiculaire à l'axe optique en une image plane perpendiculaire sans distorsion géométrique. Une famille de cercles dont les centres décrivent une directrice, qui reste tangente à une polaire et admet une seconde enveloppe relève de la première notion ; un dispositif formant une image relève de la seconde.

Une ovale de Descartes est une courbe à deux foyers liée à la réfraction, tandis que la ligne aplanétique est ici définie par une directrice, une polaire et une famille de cercles tangents. La présence de deux foyers signale le cadre des ovales ; la trajectoire des centres et les deux enveloppes signalent la construction aplanétique plane.

Une intersection n'est pas une tangence. Si un cercle coupe la polaire en deux points distincts, son rayon ne satisfait pas la construction. Il faut choisir un cercle qui possède le contact tangent demandé.

Le rayon peut avoir plusieurs valeurs. Pour une polaire générale, un même centre peut admettre plusieurs cercles tangents selon le point ou le côté de contact. Il faut fixer une branche continue de tangences avant de parler de la famille et de son enveloppe.

L'enveloppe peut se dédoubler. Dans l'exemple, le calcul donne y = x et y = −x pour x > 0. La branche y = x est la polaire déjà imposée ; seule l'autre branche joue le rôle de ligne aplanétique dans cette construction.

Le cas t = 0 est dégénéré. Le rayon t/√2 devient nul et le cercle se réduit au point (0, 0). L'exemple impose donc t > 0 ; le point origine n'est qu'une limite commune des deux branches.

Le glossaire ovale de Descartes approfondit la courbe à deux foyers qui relie géométrie et réfraction.

La fiche foyer - optique - précise le rôle du point focal dans le cadre optique évoqué par les surfaces aplanétiques.

La fiche angle de réfraction permet de prolonger l'étude de la relation entre géométrie des rayons et changement de milieu.