cercles de Villarceau

Imaginez une bouée traversée par une plaque oblique. Avec l'inclinaison ordinaire, le bord de la découpe forme une courbe ovale. À une inclinaison très précise, la plaque effleure aussi la bouée en deux points opposés : la courbe se sépare alors en deux cercles parfaits.

Ces deux cercles de Villarceau ne font pas simplement le tour du trou ou du tube. Chacun monte, contourne le tore et redescend, comme une boucle oblique fermée. Les deux cercles se rencontrent aux deux points où le plan est tangent à la surface.

Un cercle de Villarceau est une composante circulaire de l'intersection entre un tore annulaire et un plan oblique bitangent. Le tore annulaire est obtenu en faisant tourner un cercle de petit rayon r autour d'un axe situé à une distance R de son centre, avec R supérieur à r. Le plan passe par le centre du tore et touche sa surface en deux points. Sa section est la réunion de deux cercles de Villarceau, qui passent tous deux par ces points de tangence.

Si α désigne l'angle aigu du plan avec le plan horizontal, la condition de bitangence s'écrit $\sin \alpha =\frac{r}{R}\backslash sin\backslash alpha=\backslash frac\{r\}\{R\}$. Pour chaque orientation oblique ainsi permise autour de l'axe du tore, on obtient une paire de cercles. En faisant varier cette orientation, deux cercles de Villarceau passent par chaque point du tore annulaire.

Les cercles paraissent hélicoïdaux lorsqu'on les regarde sur la surface, mais ce sont bien des cercles plans. Ils associent les deux directions usuelles du tore — autour de son axe et autour de son tube — et fournissent ainsi deux familles obliques de courbes coordonnées intrinsèques.

Prenons un tore de grand rayon 5 et de petit rayon 3. Nous allons déterminer le plan bitangent, puis reconnaître les deux cercles dans ce plan.

Données.
Grand rayon du tore : R = 5.
Petit rayon du tube : r = 3.
Coordonnées u et v mesurées dans le plan de section, avec l'origine au centre du tore.

Étape 1. La condition de bitangence donne $\sin \alpha =\frac{3}{5}\backslash sin\backslash alpha=\backslash frac\{3\}\{5\}$. L'angle aigu du plan avec l'horizontale vaut donc environ 36,87°.

Étape 2. Dans le plan, l'équation de la section se factorise en deux équations : Chaque facteur décrit un cercle de rayon 5, centré respectivement en (0 ; 3) et (0 ; −3).

Étape 3. Les deux cercles ont v = 0 à leurs points communs. On obtient alors u² + 9 = 25, donc u² = 16 et u = −4 ou u = 4. Les points (−4 ; 0) et (4 ; 0) sont les deux points de tangence.

Contrôle. Pour chacun de ces points, la distance au centre (0 ; 3) comme au centre (0 ; −3) vaut exactement 5. Les deux composantes sont donc bien des cercles de rayon 5 passant par les deux points de tangence.

Sur une maquette de tore, une coupe horizontale fait apparaître des cercles concentriques, tandis qu'une coupe verticale par l'axe montre des méridiens. Pour obtenir des cercles de Villarceau, il faut incliner le plan jusqu'à ce qu'il touche aussi la surface en deux points.

Dans un calcul, le rapport r/R fixe l'inclinaison. Si ce rapport est connu, la relation sin α = r/R permet de régler le plan ; la vérification décisive consiste ensuite à factoriser l'équation de la section en deux équations de cercles.

Pour repérer un point sur le tore sans employer seulement longitude et méridien, on peut suivre les deux familles obliques de Villarceau. Leur croisement fournit des coordonnées liées à la géométrie propre de la surface.

Cercles méridiens. Un plan vertical contenant l'axe du tore découpe des cercles méridiens. Le plan d'un cercle de Villarceau est oblique, passe par le centre du tore et est tangent à la surface en deux points : cette bitangence tranche entre les deux cas.

Cercles parallèles. Un plan horizontal produit des cercles centrés sur l'axe du tore. Un cercle de Villarceau n'est pas horizontal et s'enroule autour du tore ; son plan contient le centre du tore.

Section oblique quelconque. Une coupe inclinée ne suffit pas. Si le plan n'est pas bitangent, la section est généralement une courbe non circulaire ; il faut contrôler les deux tangences ou la factorisation en deux cercles.

Le type de tore compte. La relation sin α = r/R suppose un tore annulaire, donc R > r. Si R < r, le rapport dépasse 1 et aucun angle réel ne satisfait cette construction ; il ne faut pas prolonger automatiquement la propriété au tore auto-intersectant.

Le cas charnière R = r. L'angle atteint 90° et le tore à cornes n'est plus une surface régulière au centre. La configuration limite ne doit pas être présentée comme la paire oblique régulière d'un tore annulaire.

Une apparence hélicoïdale trompeuse. Sur le tore, chaque courbe semble former une hélice. Elle reste pourtant contenue dans un seul plan et se referme en cercle ; il faut examiner son plan support plutôt que sa seule projection dans l'espace.

Deux cercles par point ne signifie pas une paire unique. La paire obtenue dépend de l'orientation du plan autour de l'axe. Par un point donné passent deux membres, un de chacune des deux familles de Villarceau, et non les deux composantes d'une même section bitangente.

La factorisation de la section révèle une propriété plus générale du tore annulaire : il porte quatre familles de cercles, deux familles usuelles de méridiens et de parallèles, auxquelles s'ajoutent les deux familles obliques de Villarceau.

On peut aussi étudier ces cercles comme des courbes coordonnées sur la surface. Leur double passage par chaque point relie une construction euclidienne dans l'espace à la géométrie intrinsèque du tore.