toroïde

Imaginez un cercle de taille fixe dont le centre glisse tout autour d'une ellipse. Au fil du déplacement, chaque cercle effleure une même bordure extérieure et, lorsque la taille le permet, une bordure intérieure. Ces lignes de contact forment le toroïde.

Il ne s'agit donc ni d'un cercle isolé ni de toute la zone balayée. Le regard doit suivre les points où un cercle mobile est tangent à la bordure commune. Cette construction explique pourquoi la courbe reste partout à la même distance de l'ellipse de départ.

Un toroïde est l'enveloppe d'une famille de cercles de même rayon dont le centre parcourt une ellipse. Une enveloppe est une courbe tangente à chacun des membres de la famille en une position appropriée. Le rayon doit rester fixe : c'est lui qui donne la distance constante entre l'ellipse et les branches parallèles. La construction est plane, même si son nom vient des contours apparents que peut présenter un tore dans certaines représentations planes.

Soient a et b les demi-axes positifs de l'ellipse, r le rayon positif des cercles et θ le paramètre qui repère leur centre. Le centre C, la normale unitaire n à l'ellipse et les deux points de contact P₊ et P₋ s'écrivent :

Le signe plus décrit la branche extérieure et le signe moins la branche intérieure. À chaque valeur de θ, le rayon mené de C vers P₊ ou P₋ est normal à l'ellipse ; le cercle mobile et l'enveloppe y partagent donc une tangente. La branche intérieure peut toutefois perdre sa régularité lorsque le rayon atteint une valeur liée à la courbure de l'ellipse.

Construisons un toroïde assez régulier pour distinguer ses deux branches. L'ellipse est centrée à l'origine, son grand axe est horizontal, et tous les cercles mobiles ont le même rayon.

Données.
Demi-grand axe : 120 unités.
Demi-petit axe : 70 unités.
Rayon du cercle mobile : 20 unités.
Paramètre du centre : θ, de 0 à 2π.

1. Le centre du cercle suit l'ellipse. Ses coordonnées sont $C(\theta )=(120\cos \theta ,70\sin \theta )C(\backslash theta)=(120\backslash cos\backslash theta,70\backslash sin\backslash theta)$.

2. En chaque centre, on prend la normale unitaire à l'ellipse, puis on avance de 20 unités dans ses deux sens. On obtient ainsi un point de chaque branche : $P_{\pm }(\theta )=C(\theta )\pm 20n(\theta )P\_\{\backslash pm\}(\backslash theta)=C(\backslash theta)\backslash pm20n(\backslash theta)$.

3. Aux extrémités des axes, le calcul devient immédiat :Les branches passent donc par (140 ; 0) et (100 ; 0), puis par (0 ; 90) et (0 ; 50), en unités.

4. On répète le déplacement pour tout θ. La figure matérialise l'ellipse des centres, un cercle de la famille et les deux enveloppes qu'il touche.

Contrôle. Sur les axes, la distance entre l'ellipse et chaque branche vaut bien 20 unités : 140 − 120 = 20, 120 − 100 = 20, 90 − 70 = 20 et 70 − 50 = 20.

Pour construire la courbe, on trace d'abord l'ellipse des centres, puis plusieurs cercles de rayon identique. On cherche leur ligne de tangence commune plutôt que de colorier toute la zone balayée. Si le rayon change pendant le parcours, il faut étudier une enveloppe plus générale, pas un parallèle à distance fixe.

Pour vérifier un tracé, on mesure la distance suivant la normale à l'ellipse. Elle doit rester égale au rayon choisi sur chacune des branches régulières. Une mesure prise horizontalement ou verticalement hors des extrémités des axes ne constitue pas ce contrôle.

Dans une représentation plane d'un tore, une courbe de ce type peut apparaître comme contour apparent. Le critère reste alors géométrique : on observe une ligne du dessin, tandis que le tore désigne l'objet représenté.

Le tore. Le toroïde décrit ici est une courbe algébrique plane ; le tore est l'objet dont certaines représentations planes peuvent avoir ces courbes pour contours apparents. Un dessin limité à une ligne d'enveloppe relève du toroïde, pas du tore lui-même.

L'ellipse de départ. Elle porte les centres des cercles, mais elle n'est pas leur enveloppe dès que le rayon est positif. Aux extrémités du grand axe de l'exemple, l'ellipse atteint 120 unités et les branches atteignent 140 et 100 unités : les trois courbes sont distinctes.

Rayon nul. Si le rayon vaut 0, les cercles dégénèrent en points et les deux branches se confondent avec l'ellipse. Pour obtenir la famille de cercles décrite dans la définition, on prend donc un rayon strictement positif.

Rayon variable. Si la taille du cercle change avec la position de son centre, les points de contact ne restent plus à distance constante de l'ellipse. Le symptôme est une séparation variable mesurée suivant la normale ; il faut alors calculer l'enveloppe de cette nouvelle famille.

Branche intérieure singulière. Pour une ellipse dont le demi-grand axe a est au moins égal au demi-petit axe b, le premier seuil est le plus petit rayon de courbure, soit $b^2\mathrm{/}ab^2/a$. Dans l'exemple, ce seuil vaut exactement 245/6 unités, soit environ 40,83 unités. Le rayon 20 reste en dessous ; au seuil, une pointe apparaît sur la branche intérieure, et au-delà son tracé peut se recouper.

Zone balayée et enveloppe. La réunion de tous les disques remplirait une bande, tandis que la réunion de leurs circonférences produirait de nombreux arcs. Le toroïde retient les points de tangence qui forment la frontière enveloppante ; accumuler tous les cercles ne suffit pas à l'identifier.

Le prolongement naturel consiste à étudier l'effet du rayon sur la branche intérieure. Tant qu'il reste inférieur au plus petit rayon de courbure de l'ellipse, le décalage normal demeure régulier. Au seuil apparaissent des points singuliers ; au-delà, des recoupements deviennent possibles. Cette transition relie la construction par cercles à l'étude locale de la courbure et aux équations algébriques implicites de l'enveloppe.