parataxie

Imaginez un tore, comme une bouée, et des plans qui le traversent de biais. Certains de ces plans découpent le tore suivant des cercles inclinés : ce sont les cercles de Villarceau.

Ces cercles ne suivent pas les parallèles du tore. Leur allure peut évoquer une loxodromie, c'est-à-dire une courbe qui coupe les méridiens d'une surface sous un angle constant, mais cette comparaison ne constitue pas ici une propriété démontrée. La parataxie décrit une régularité plus précise : dans une même famille, pour une surface sphérique qui contient un premier cercle et coupe transversalement un second en deux points, l'angle aigu entre la tangente au second cercle et le plan tangent à la sphère reste constant.

La parataxie est une propriété géométrique des cercles de Villarceau d'un tore. Un cercle de Villarceau est une section plane du tore obtenue par un plan oblique particulier ; cette section est elle-même un cercle.

Les cercles de Villarceau se répartissent en familles. Dans une famille donnée, notons C₁ et C₂ deux cercles distincts. Une sphère S est dite admissible pour (C₁,C₂) si la circonférence C₁ est incluse dans la surface sphérique S, si S coupe C₂ transversalement en exactement deux points P et Q, et si les tangentes de C₂ en P et Q ne sont pas tangentes à S. En chacun de ces points, α désigne l'angle aigu entre la tangente à C₂ et le plan tangent à S. La parataxie affirme que cet angle α ne dépend ni du point P ou Q retenu ni de la sphère admissible S.

La loxodromie fournit ici une comparaison de trajectoire : c'est une courbe d'une surface qui coupe les méridiens de cette surface sous un angle constant. Nous ne posons pas que α soit, par définition, un angle de loxodromie ; l'identification demanderait une construction supplémentaire et un résultat démontré. Le mot « constant » porte sur la famille choisie et sur toutes les sphères admissibles pour la paire (C₁,C₂), et non sur toutes les familles possibles.

Prenons deux cercles de Villarceau distincts C₁ et C₂ appartenant à une même famille sur un tore. On choisit une sphère S qui contient C₁ et coupe C₂ transversalement en exactement deux points ; l'exemple porte sur la géométrie de cette coupe, pas sur une mesure numérique de l'angle.

1. Le premier cercle est une section plane oblique du tore. 2. La sphère S est choisie de façon à contenir ce cercle. 3. S rencontre transversalement le second cercle de la même famille en deux points P et Q. 4. En P ou en Q, on observe l'angle aigu entre la tangente au second cercle et le plan tangent à S, et on le note α.

5. On recommence avec une autre sphère contenant C₁ et respectant la même configuration. 6. La propriété de parataxie prévoit que l'angle aigu observé en P ou en Q est encore α. Le contrôle consiste donc à comparer les angles dans plusieurs sphères admissibles : leur constance, et non une valeur particulière, est le résultat à vérifier.

En géométrie du tore, la parataxie sert à reconnaître une régularité entre des sections obliques appartenant à une même famille. Le geste pertinent consiste à fixer la famille, puis à comparer l'angle de coupe obtenu pour plusieurs sphères admissibles.

Une construction ou une figure peut montrer les cercles de Villarceau et la sphère qui en contient un. Pour interpréter cette figure, il faut privilégier l'appartenance à la même famille et l'angle de rencontre ; la simple inclinaison apparente du dessin ne suffit pas.

Lorsque l'objectif est de décrire le trajet d'une courbe sur une surface en termes d'angle constant avec les méridiens, le vocabulaire de la loxodromie est plus précis. La parataxie intervient ici lorsque l'on compare, dans la configuration définie, les angles entre un cercle et les plans tangents des sphères qui le coupent.

La parataxie ne désigne pas une loxodromie. Une loxodromie est une courbe d'une surface qui coupe les méridiens sous un angle constant ; elle peut fournir une comparaison d'allure, mais aucune identification avec les cercles de Villarceau n'est posée ici. La parataxie désigne la constance d'un angle de coupe entre cercles d'une même famille, défini par la tangente au cercle et le plan tangent à la sphère. Le critère qui tranche est donc la question posée : trajectoire sur une surface ou comparaison d'angles dans la configuration sphère-cercles.

Elle ne désigne pas non plus n'importe quelle section plane du tore. Une section par un plan oblique particulier donne un cercle de Villarceau, alors qu'une section quelconque peut produire une autre courbe. La présence d'un cercle et son appartenance à la famille considérée sont les critères à vérifier.

La constance annoncée ne concerne pas une sphère quelconque. Pour une paire de cercles C₁ et C₂ d'une même famille, la surface sphérique doit contenir C₁ et couper C₂ transversalement en exactement deux points ; l'angle testé est alors l'angle aigu entre la tangente à C₂ et le plan tangent à la sphère, en l'un de ces points. Si l'une de ces conditions manque, l'angle observé ne constitue pas un test de la parataxie.

Une figure en perspective peut déformer visuellement un angle. Le symptôme est une impression de variation entre deux dessins ; il faut alors revenir aux plans et aux intersections géométriques, plutôt que mesurer l'angle dans l’illustration.

Enfin, la propriété est formulée pour une famille donnée. Comparer directement deux cercles issus de familles différentes change le problème : une éventuelle différence d'angle ne réfute pas la constance annoncée dans chacune des configurations admissibles.

Pour construire le décor géométrique de cette propriété, consultez la fiche cercles de Villarceau. Elle permet de revoir comment des plans obliques découpent le tore en cercles et de mieux situer les familles utilisées par la parataxie.