GéométrieNotion · Glossaire
calcul de la Qibla
La Qibla (aussi transcrite kibla, kiblat ou kiblet) désigne la direction vers laquelle doit se tourner tout musulman lors de la prière, c'est-à-dire la direction de La Mecque, plus précisément de la Kaaba. Cette direction varie selon le lieu à la surface de la Terre. Dans l'Islam contemporain, elle est définie par l'orthodromie, soit l'arc de grand cercle reliant le lieu considéré à La Mecque sur la sphère terrestre. Autrefois, une approche fondée sur la projection de Mercator et la loxodromie conduisait à des directions différentes, parfois très sensiblement pour des régions éloignées (par exemple, pour le point nord-américain étudié ici, l'orientation passait du sud-est au nord-est). Le calcul de la Qibla peut être effectué à l'aide de formules trigonométriques sphériques, par observation du Soleil aux jours où il passe à la verticale de La Mecque, ou au moyen d'instruments spécialisés. Des applications numériques permettent aujourd'hui cette détermination en temps réel depuis n'importe quel point du globe.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir la Qibla comme une direction dépendant du lieu d’observation.
- Calculer un azimut initial par trigonométrie sphérique sur un exemple vérifiable.
- Distinguer orthodromie, loxodromie et droite tracée sur une carte de Mercator.
- Identifier les cas où l’azimut devient non unique ou non défini.
En clair
Sur un globe, posez un doigt sur votre position et un autre sur la Kaaba, à La Mecque. La Qibla est la direction dans laquelle partirait le trajet le plus direct tracé sur la surface courbe du globe. Elle change donc avec le lieu de départ.
Une carte plane peut tromper l’œil : le nord de la carte et les lignes droites ne reproduisent pas toujours ce trajet sphérique. Le calcul transforme les deux positions en un angle mesuré depuis le nord, appelé azimut.
Définition
La Qibla, également transcrite kibla, kiblat ou kiblet, est la direction de la Kaaba, à La Mecque, depuis un lieu donné. Dans l’usage contemporain, elle suit l’orthodromie : l’arc d’un grand cercle de la sphère terrestre. Le résultat recherché est l’azimut initial, compté dans le sens horaire depuis le nord.
On note φ la latitude du lieu, λ sa longitude, φK la latitude de la Kaaba et λK sa longitude. La différence de longitude est Δλ. Avec des angles exprimés en radians, l’azimut A s’obtient par la fonction à deux arguments atan2, qui conserve le bon quadrant :
On ramène ensuite A dans l’intervalle de 0° inclus à 360° exclu.
Une loxodromie garde au contraire un cap constant ; son tracé paraît droit sur une projection de Mercator, mais sa direction peut différer fortement de l’orthodromie. La trigonométrie sphérique donne le calcul direct. L’observation du Soleil lorsqu’il passe à la verticale de La Mecque, des instruments spécialisés ou des applications numériques en temps réel fournissent d’autres moyens de détermination.
Un exemple, pas à pas
Prenons un point d’Amérique du Nord et des coordonnées arrondies afin de comparer les deux conventions.
Données : latitude du point φ = 40,7° ; longitude du point λ = −74,0° ; latitude de la Kaaba φK = 21,4° ; longitude de la Kaaba λK = 39,8°.
Données : latitude du point φ = 40,7° ; longitude du point λ = −74,0° ; latitude de la Kaaba φK = 21,4° ; longitude de la Kaaba λK = 39,8°.
1. La différence de longitude vaut Δλ = 39,8° − (−74,0°) = 113,8°, soit environ 1,987 radian. Les autres latitudes sont converties en radians avant d’appliquer les fonctions trigonométriques.
2. Dans la formule orthodromique, le premier argument de atan2 vaut sin(Δλ) cos(φK) ≈ 0,8519. Le second vaut cos(φ) sin(φK) − sin(φ) cos(φK) cos(Δλ) ≈ 0,5216.
3. L’azimut initial est donc . La Qibla pointe vers le nord-est, puisque cet angle se situe entre 0° et 90°.
4. Avec les mêmes données, le cap constant de la loxodromie vaut environ 101,3°, donc légèrement au sud de l’est. Une rose des directions rend visible l’écart de 42,8° entre les deux choix.
Le contrôle est immédiat : 58,5° doit placer la flèche entre le nord, 0°, et l’est, 90° ; 101,3° doit la placer juste au-delà de l’est. Le dessin et les deux intervalles confirment les résultats.
En pratique
Pour une prière dans un lieu nouveau, une application numérique associe la position du téléphone à une orientation en temps réel. Si l’indication reste instable, un calcul à partir de coordonnées fixes constitue une alternative contrôlable.
Pour orienter durablement un espace, la trigonométrie sphérique fournit un azimut reproductible à partir du lieu et de La Mecque. Une loxodromie n’est pas interchangeable : le critère est ici le grand cercle, pas le cap constant.
Lorsque le Soleil passe à la verticale de La Mecque, son observation offre une détermination sans carte de Mercator. Cette méthode est à préférer lorsque cet alignement est observable ; sinon, la formule ou un instrument spécialisé reste disponible.
À ne pas confondre
Orthodromie et loxodromie. L’orthodromie suit un grand cercle et minimise le trajet sur la sphère ; son cap peut évoluer. La loxodromie coupe les méridiens sous un angle constant et apparaît droite sur une carte de Mercator. Pour le point de l’exemple, leurs azimuts initiaux sont respectivement 58,5° et 101,3°.
Qibla et direction de l’est. La Qibla vise un lieu précis, tandis que l’est est une direction locale définie par les points cardinaux. Le test consiste à calculer l’azimut : dans l’exemple, 58,5° n’est pas l’est, qui correspond à 90°.
Limites et pièges
Piège de la carte plane. Une droite sur une projection de Mercator représente une loxodromie, pas nécessairement le grand cercle recherché. En Amérique du Nord, ce choix peut faire basculer l’orientation du nord-est vers le sud-est. Il faut calculer l’orthodromie sur la sphère.
Point antipodal. Si le lieu était séparé de la Kaaba par exactement 180° sur la sphère, plusieurs demi-grands cercles auraient la même longueur. L’azimut ne serait alors pas unique ; une direction initiale isolée ne suffirait pas.
Point d’arrivée. À la Kaaba elle-même, la distance à la cible est nulle et aucune direction de départ vers cette même cible n’est définie. Il ne faut pas forcer un azimut numérique dans ce cas.
Modèle et précision. La formule présentée traite la Terre comme une sphère et l’exemple emploie des coordonnées arrondies au dixième de degré. Le résultat de 58,5° est donc une illustration calculée, non une mesure de terrain à surinterpréter.
Pour aller plus loin
orthodromie — Approfondit le trajet de plus courte longueur sur une sphère et la notion de grand cercle.
loxodromie — Explique le cap constant et pourquoi il ne donne pas toujours la même orientation que l’orthodromie.
trigonométrie sphérique — Donne le cadre mathématique des angles et des triangles tracés sur une sphère.
projection de Mercator — Montre comment la carte conserve les angles locaux tout en modifiant la lecture des trajets.
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