cercle orthoptique

Imaginez un point placé hors d’une ellipse. Depuis ce point, deux droites peuvent effleurer l’ellipse, chacune en un seul point. Si ces deux tangentes forment un angle droit, le point de départ appartient au cercle orthoptique.

En déplaçant ce point tout en conservant l’angle droit, il décrit un cercle centré comme l’ellipse. Pour une ellipse de demi-axes 4 et 3, ce cercle a pour rayon 5.

Le cercle orthoptique, ou cercle de Monge, est le lieu des points du plan d’où partent deux tangentes à une conique qui sont perpendiculaires. Il s’agit donc du cas circulaire de la courbe orthoptique d’une conique.

Pour une ellipse centrée en O, le nombre positif a désigne le demi-grand axe et le nombre positif b le demi-petit axe, avec a ≥ b. Son équation et celle de son cercle orthoptique sont : Le rayon vaut donc √(a² + b²). Le même cercle passe par les quatre sommets du rectangle formé par les tangentes aux extrémités des deux axes.

Pour une hyperbole centrée d’équation $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1$, le rayon serait √(a² − b²). Il est strictement positif seulement lorsque a > b, ce qui équivaut à une excentricité strictement inférieure à √2. Pour une parabole, le lieu orthoptique est sa directrice : c’est une droite, et non un cercle.

La construction met en relation cinq éléments. La conique est la courbe touchée. Un point extérieur P sert d’origine aux deux tangentes. Les points de contact T₁ et T₂ déterminent ces tangentes, qui doivent former un angle droit en P. Enfin, le centre O de la conique est aussi celui du cercle orthoptique lorsqu’il existe.

Les demi-axes fixent le rayon : √(a² + b²) pour l’ellipse et √(a² − b²) pour l’hyperbole admissible. Ils déterminent donc à la fois la conique et la distance OP imposée aux points orthoptiques. En revanche, l’orientation du dessin, sa couleur et son échelle ne définissent pas l’objet. Le centre, les demi-axes et la condition de perpendicularité suffisent à calculer puis tracer le lieu.

Prenons l’ellipse centrée en O dont le demi-grand axe vaut a = 4 et le demi-petit axe b = 3. Choisissons le point P de coordonnées (0 ; 5), puis contrôlons qu’il appartient au cercle orthoptique et que ses deux tangentes sont perpendiculaires. La figure rend visibles l’ellipse, le cercle et les deux points de contact.

1. Le rayon du cercle vaut $r=\sqrt{4^2+3^2}=5r=\backslash sqrt\{4^2+3^2\}=5$. Comme OP = 5, le point P est bien sur ce cercle.

2. La condition de contact donne deux points symétriques : T₁ = (16/5 ; 9/5) et T₂ = (−16/5 ; 9/5). Chacun vérifie exactement l’équation de l’ellipse.

3. Les vecteurs allant de P vers ces points sont (16/5 ; −16/5) et (−16/5 ; −16/5). Leur produit scalaire vaut $\frac{16}{5}(-\frac{16}{5})+{(-\frac{16}{5})}^2=0\backslash frac\{16\}\{5\}\backslash left(-\backslash frac\{16\}\{5\}\backslash right)+\backslash left(-\backslash frac\{16\}\{5\}\backslash right)^2=0$. Les deux tangentes sont donc perpendiculaires. Ce calcul fournit un contrôle exact, sans lecture approximative du dessin.

Pour construire le lieu associé à une ellipse, on mesure ses deux demi-axes, puis on trace autour de son centre le cercle de rayon √(a² + b²). Le rectangle formé par les tangentes aux quatre extrémités des axes offre une alternative graphique : son cercle circonscrit est le même.

Pour tester un point donné, on mène les deux tangentes à la conique et on vérifie leur angle. Le calcul de la distance au centre est préférable lorsque l’équation canonique et les demi-axes sont connus ; la construction des tangentes reste utile lorsque seule la figure est disponible.

Face à une parabole, il ne faut pas chercher un cercle centré : on détermine sa directrice. Cette droite rassemble précisément les points depuis lesquels les deux tangentes à la parabole sont perpendiculaires.

Cercle orthoptique et courbe orthoptique. La courbe orthoptique est la notion générale : elle rassemble les points d’où deux tangentes sont perpendiculaires. Le lieu est un cercle pour les ellipses et certaines hyperboles, mais il devient une droite pour une parabole.

Cercle orthoptique et conique de départ. Le cercle est le lieu des points d’observation P ; ses points ne sont pas les points de contact sur la conique. Dans l’exemple, P = (0 ; 5) appartient au cercle, tandis que T₁ et T₂ appartiennent à l’ellipse.

Seuil de l’hyperbole. Lorsque son excentricité atteint √2, on a a = b et la formule donne un rayon nul. Le centre n’est pas un cercle de points extérieurs portant deux tangentes ordinaires : l’existence exige donc strictement e < √2. Au-delà, a² − b² est négatif et aucun rayon réel ne convient.

Cas de la parabole. Chercher √(a² ± b²) n’a pas de sens, car une parabole n’a pas deux demi-axes. Le symptôme est l’absence de centre : il faut employer sa directrice comme lieu orthoptique.

Dessin trompeur. Deux tangentes qui semblent presque perpendiculaires ne prouvent rien. Il faut contrôler un produit scalaire nul ou un angle droit construit exactement. De même, les formules données supposent des coniques non dégénérées écrites dans un repère centré sur leurs axes.

La notion générale de conique replace ellipse, hyperbole et parabole dans une même famille de courbes.

L’article sur l’Excentricité précise le paramètre qui sépare les hyperboles possédant un cercle orthoptique de celles qui n’en possèdent pas.

Les fiches ellipse, hyperbole et parabole permettent de comparer les trois formes et leurs lieux orthoptiques respectifs.