courbe orthoptique

Imaginez un point placé près d’une courbe. Depuis ce point, deux droites viennent seulement effleurer la courbe, chacune en un endroit différent. Si ces deux tangentes forment un angle droit, le point appartient à la courbe orthoptique.

En déplaçant le point tout en conservant cet angle droit, sa trajectoire dessine l’orthoptique. Pour une ellipse, cette trajectoire est un cercle qui entoure l’ellipse.

Soit une courbe plane. Sa courbe orthoptique est l’ensemble des points depuis lesquels passent deux tangentes réelles et distinctes à la courbe, dont les directions sont perpendiculaires dans la géométrie euclidienne. Les deux points de contact peuvent varier avec le point d’observation. L’orthoptique est l’isoptique correspondant à l’angle constant de 90°.

Pour l’ellipse d’équation $x^2\mathrm{/}{a}^2+y^2\mathrm{/}{b}^2=1x^2/a^2+y^2/b^2=1$, où les nombres positifs a et b sont les demi-axes, l’orthoptique est le cercle de centre celui de l’ellipse et de rayon $\sqrt{a^2+b^2}\backslash sqrt\{a^2+b^2\}$. Ce cercle est souvent nommé cercle orthoptique ou cercle de Monge. Pour la parabole, l’orthoptique est sa directrice.

Pour l’hyperbole d’équation $x^2\mathrm{/}{a}^2-y^2\mathrm{/}{b}^2=1x^2/a^2-y^2/b^2=1$, le cercle orthoptique réel existe lorsque l’excentricité est inférieure à √2 ; son rayon vaut $\sqrt{a^2-b^2}\backslash sqrt\{a^2-b^2\}$. L’orthoptique d’une cardioïde peut avoir deux composantes : un cercle et un limaçon de Pascal.

Sur une figure de géométrie, on reconnaît la situation à cinq éléments visibles : une courbe de départ, un point d’observation, deux points de contact, deux tangentes et un petit carré marquant leur angle droit. Le point d’observation n’est pas fixé sur la courbe de départ.

Quand ce point se déplace en gardant deux tangentes perpendiculaires, l’ensemble de ses positions porte l’information recherchée. Selon la courbe initiale, ce lieu peut être une droite, un cercle ou plusieurs courbes réunies.

La grandeur à contrôler est l’angle formé par les directions des deux tangentes issues d’un même point. La convention est celle de l’angle euclidien : les directions doivent former exactement 90°.

1. Repérez le point candidat et les deux points où les droites touchent la courbe.
2. Vérifiez que chaque droite est bien tangente au point de contact, et non simplement sécante.
3. Comparez leurs directions : leur produit scalaire doit être nul.
4. Faites varier le point candidat ; les positions qui passent ces contrôles tracent l’orthoptique.

Un dessin peut faire paraître deux droites perpendiculaires sans qu’elles le soient. Le bon réflexe consiste à contrôler leurs pentes ou leur produit scalaire, plutôt qu’à se fier au seul petit carré ou à l’allure de la figure.

Considérons une ellipse centrée à l’origine. Ses données sont les suivantes :
• demi-grand axe a = 5 ;
• demi-petit axe b = 3 ;
• équation $x^2\mathrm{/}25+y^2\mathrm{/}9=1x^2/25+y^2/9=1$.

1. Le carré du rayon du cercle orthoptique est la somme des carrés des demi-axes : $r^2=5^2+3^2=34r^2=5^2+3^2=34$.

2. Le rayon exact est donc $r=\sqrt{34}r=\backslash sqrt\{34\}$, soit environ 5,83. Le point P de coordonnées (√34 ; 0) appartient à ce cercle.

3. Les deux droites passant par P et de pentes 1 et −1 ont pour équations $y=x-\sqrt{34}y=x-\backslash sqrt\{34\}$ et $y=-x+\sqrt{34}y=-x+\backslash sqrt\{34\}$. Elles sont tangentes à l’ellipse.

4. Le produit de leurs pentes vaut 1 × (−1) = −1 : elles sont perpendiculaires. Ce contrôle confirme que P est sur l’orthoptique et que le rayon obtenu est cohérent. La construction réunit l’ellipse, son cercle orthoptique et les deux tangentes contrôlées.

Pour une ellipse, on calcule d’abord √(a² + b²), puis on trace le cercle centré comme l’ellipse. Si l’on cherche seulement l’ensemble des points donnant un angle droit, ce cercle remplace une construction répétée des tangentes.

Pour une parabole, on repère directement sa directrice : elle est déjà l’orthoptique. Une construction point par point reste utile lorsque la directrice n’est pas connue dans la représentation.

Pour une courbe plus complexe, on choisit un point, on détermine ses tangentes, puis on conserve le point seulement si leur angle vaut 90°. Cette procédure est préférable à une formule de cercle lorsque l’orthoptique possède plusieurs composantes, comme pour la cardioïde.

Une courbe isoptique impose un angle constant quelconque entre les deux tangentes ; une courbe orthoptique impose précisément un angle droit. Un lieu obtenu avec un angle constant de 60° est donc isoptique, mais pas orthoptique.

Hyperbole au seuil. Pour l’hyperbole $x^2\mathrm{/}{a}^2-y^2\mathrm{/}{b}^2=1x^2/a^2-y^2/b^2=1$, le cercle réel exige a > b, ce qui équivaut à une excentricité strictement inférieure à √2. Au seuil a = b, le rayon est nul : il n’y a plus de cercle orthoptique non dégénéré.

Deux tangentes distinctes. Un point où les deux contacts se confondent ne fournit pas la paire de tangentes demandée. Il faut contrôler séparément l’existence de deux tangentes réelles et leur perpendicularité.

Lieu non nécessairement unique. L’orthoptique n’est pas toujours une seule courbe connexe. Pour la cardioïde, il faut conserver les deux composantes annoncées : un cercle et un limaçon de Pascal.

Formules des coniques. La somme a² + b² donne le rayon au carré pour l’ellipse. Pour l’hyperbole sous la convention $x^2\mathrm{/}{a}^2-y^2\mathrm{/}{b}^2=1x^2/a^2-y^2/b^2=1$, il faut employer la différence a² − b².

La parabole montre un cas surprenant où l’orthoptique est une droite : sa directrice.

Les fiches sur l’ellipse et l’hyperbole permettent de relier la forme de chaque conique à la formule de son cercle orthoptique.

La cardioïde conduit à une orthoptique à plusieurs composantes, dont un limaçon de Pascal.