axe radical

Imaginez deux cercles tracés sur une feuille. Pour chaque point de la feuille, on peut mesurer un même type d'écart algébrique au cercle : sa puissance. Certains points donnent exactement le même résultat pour les deux cercles.

Quand les centres sont distincts, tous ces points s'alignent sur une droite : l'axe radical. Cette droite coupe à angle droit la droite des centres. Si les cercles se croisent, leurs deux points communs appartiennent forcément à cet axe, puisque leur puissance vaut zéro pour chaque cercle.

Considérons deux cercles C₁ et C₂, de centres respectifs O₁ et O₂, et de rayons r₁ et r₂. Pour un point M, la puissance par rapport au cercle C_i est le nombre MO_i² − r_i². L'axe radical est l'ensemble des points M qui vérifient : ${\mathrm{Pow}}_{C_1}(M)={\mathrm{Pow}}_{C_2}(M)\backslash operatorname\{Pow\}\_\{C\_1\}(M)=\backslash operatorname\{Pow\}\_\{C\_2\}(M)$.

Lorsque O₁ et O₂ sont distincts, les termes quadratiques en les coordonnées de M s'éliminent dans cette égalité. Il reste une équation affine : l'ensemble obtenu est une droite perpendiculaire à O₁O₂. Cette droite existe même si les deux cercles n'ont aucun point commun.

Tout point situé sur un cercle a une puissance nulle par rapport à ce cercle. Deux cercles sécants ont donc leurs deux points d'intersection sur l'axe radical, qui est alors leur droite commune. S'ils sont tangents, leur unique point commun appartient à l'axe, et celui-ci est la tangente commune en ce point. Les cercles concentriques demandent un traitement séparé : l'ensemble est vide si leurs rayons diffèrent, et c'est tout le plan s'ils coïncident.

Dans un repère orthonormé, prenons le cercle C₁ de centre O₁ = (0, 0) et de rayon 5, puis le cercle C₂ de centre O₂ = (6, 0) et de rayon 3. Cherchons les points M = (x, y) de même puissance pour les deux cercles.

1. Écrivons les deux puissances : ${\mathrm{Pow}}_{C_1}(M)=x^2+y^2-25\backslash operatorname\{Pow\}\_\{C\_1\}(M)=x^2+y^2-25$ et ${\mathrm{Pow}}_{C_2}(M)=(x-6{)}^2+y^2-9\backslash operatorname\{Pow\}\_\{C\_2\}(M)=(x-6)^2+y^2-9$.

2. Égalons-les. Après développement, les termes x² et y² s'annulent : −25 = −12x + 27, puis 12x = 52. L'axe radical a donc pour équation x = 13/3. La figure montre cette droite verticale, perpendiculaire à la droite horizontale des centres.

3. Les cercles sont sécants. En remplaçant x par 13/3 dans l'équation de C₁, on obtient $y^2=25-\frac{169}{9}=\frac{56}{9}y^2=25-\backslash frac\{169\}\{9\}=\backslash frac\{56\}\{9\}$. Leurs points communs sont donc $A(\frac{13}{3},\frac{2\sqrt{14}}{3})\text{et}B(\frac{13}{3},-\frac{2\sqrt{14}}{3})A\backslash left(\backslash frac\{13\}\{3\},\backslash frac\{2\backslash sqrt\{14\}\}\{3\}\backslash right)\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; B\backslash left(\backslash frac\{13\}\{3\},-\backslash frac\{2\backslash sqrt\{14\}\}\{3\}\backslash right)$.

4. Contrôlons avec le point P = (13/3, 0) de l'axe. Sa puissance par rapport à C₁ vaut 169/9 − 25 = −56/9. Pour C₂, elle vaut (−5/3)² − 9 = 25/9 − 81/9 = −56/9. Les deux valeurs coïncident.

Pour construire l'axe de deux cercles sécants, tracez la droite passant par leurs deux points communs. Cette construction est plus directe qu'un calcul de puissances lorsque les intersections sont déjà connues.

Pour deux cercles non sécants de centres distincts, écrivez l'égalité des puissances dans un repère. Les termes quadratiques disparaissent et donnent l'équation d'une droite. Une construction par intersections n'est alors pas disponible.

Pour vérifier qu'un point appartient à l'axe, calculez ses deux puissances avec la même unité et comparez-les. Dans l'exemple, le point (13/3, 0) donne −56/9 des deux côtés ; une différence signale que le point n'est pas sur l'axe.

Axe radical et droite des centres. La droite des centres passe par O₁ et O₂, tandis que l'axe radical lui est perpendiculaire lorsque les centres sont distincts. Dans l'exemple, la première est l'axe horizontal y = 0 et le second est la droite verticale x = 13/3.

Axe radical et médiatrice des centres. La médiatrice contient les points équidistants des deux centres. L'axe contient les points de puissances égales ; les rayons interviennent. Les deux droites coïncident seulement si les rayons sont égaux. Avec les rayons 5 et 3, la médiatrice est x = 3, pas x = 13/3.

Puissance égale et distance égale aux cercles. Une puissance est une différence de carrés signée, pas la distance ordinaire au bord du cercle. Le point (13/3, 0) est à 2/3 du premier cercle et à 4/3 du second, bien que ses deux puissances valent −56/9.

Cercles concentriques distincts. Si les centres coïncident mais que r₁ ≠ r₂, l'égalité des puissances imposerait r₁² = r₂². Aucun point ne convient : il n'existe pas de droite axe radical. Il faut annoncer un ensemble vide.

Cercles confondus. Si les centres et les rayons sont identiques, les deux puissances sont égales pour tout point du plan. L'ensemble cherché est alors le plan entier, et non une droite particulière.

Cercles sans intersection. L'absence de point commun ne fait pas disparaître l'axe lorsque les centres sont distincts. Son symptôme est une droite qui ne traverse aucun point commun aux circonférences ; on la détermine par l'égalité des puissances, pas par une corde inexistante.

Tangence. Quand la distance des centres vaut r₁ + r₂ pour une tangence extérieure, ou |r₁ − r₂| pour une tangence intérieure non concentrique, les deux intersections se fondent en un seul point. L'axe radical reste la tangente commune en ce point.

puissance d'un point par rapport à un cercle — Approfondir la quantité dont l'égalité définit l'axe radical et ses interprétations selon la position du point.

Lieu géométrique — Replacer l'axe radical parmi les ensembles de points caractérisés par une même propriété vérifiable.