GéométrieNotion · Glossaire
faisceau de cercles
L'axe radical de deux cercles non concentriques est la droite formée des points ayant la même puissance par rapport aux deux cercles. Étant donnés un cercle C₀ et une droite D qui ne passe pas par son centre, le faisceau déterminé par C₀ et D est formé des cercles distincts de C₀ dont l'axe radical avec C₀ est D, auxquels on adjoint C₀ par convention. Il réunit ainsi des cercles partageant deux à deux ce même axe radical, une structure utile pour étudier ou vérifier leur coaxialité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un faisceau par un cercle de référence et une droite radicale.
- Vérifier sur un exemple exact que trois cercles partagent le même axe radical.
- Distinguer l'axe radical de la corde commune et de la droite des centres.
- Repérer les cas concentriques, dégénérés ou non réels.
En clair
Tracez plusieurs cercles de tailles différentes, puis cherchez une même droite qui les traverse ou passe entre eux. Cette simple apparence ne suffit pas : la droite est un axe radical seulement si, pour chaque paire de cercles, chacun de ses points a la même puissance par rapport aux deux cercles.
Quand cette droite d'équilibre reste la même pour toute la famille, les cercles forment un faisceau. Leurs centres sont alignés sur une droite perpendiculaire à cet axe commun. Dans l'exemple de la fiche, le cercle de rayon 5 et deux autres cercles partagent ainsi la droite x = 3 comme axe radical.
Définition
La puissance d'un point P par rapport à un cercle de centre O et de rayon r est le nombre OP2 − r2. Pour deux cercles distincts et non concentriques, l'ensemble des points ayant la même puissance est une droite : leur axe radical. Un faisceau de cercles est une famille dont les membres distincts ont un même axe radical D. On parle aussi de cercles coaxiaux. Leurs centres appartiennent à la droite perpendiculaire à D qui passe par le centre du cercle de référence.
Dans un repère, soit le cercle de référence C0 d'équation x2 + y2 − 25 = 0 et la droite D d'équation x − 3 = 0. En notant t un paramètre réel, la famille s'écrit : . La différence entre les équations de Ct et de C0 vaut t(x − 3). Pour t non nul, l'égalité des puissances équivaut donc à x = 3.
Plus généralement, ajouter un multiple réel de l'équation d'une droite à l'équation normalisée d'un cercle engendre le faisceau associé. Seuls les paramètres donnant un cercle réel de rayon strictement positif sont retenus comme cercles ordinaires. Le cercle de référence correspond au paramètre nul ; il appartient à la famille par convention, même si la comparaison d'un cercle avec lui-même ne détermine pas un axe unique.
Un exemple, pas à pas
On travaille dans un repère orthonormé.
Données :
• C0 a pour centre O0 = (0 ; 0) et pour rayon 5.
• D a pour équation x = 3.
• C4 est obtenu avec le paramètre t = 4.
• C−4 est obtenu avec le paramètre t = −4.
Données :
• C0 a pour centre O0 = (0 ; 0) et pour rayon 5.
• D a pour équation x = 3.
• C4 est obtenu avec le paramètre t = 4.
• C−4 est obtenu avec le paramètre t = −4.
1. Le centre O0 n'est pas sur D, car son abscisse 0 n'est pas égale à 3. Les données définissent donc le cadre annoncé.
2. Pour C4, la différence avec l'équation de C0 est 4(x − 3). Elle s'annule exactement sur D : l'axe radical de ces deux cercles est x = 3.
3. En complétant les carrés, on obtient et . Leurs centres sont donc (−2 ; 0) et (2 ; 0), et leurs rayons sont √41 et √17.
4. La différence entre les équations de C4 et de C−4 vaut 8(x − 3). Leur axe radical est encore D. Une représentation des trois cercles rend visibles cet axe commun et l'alignement de leurs centres sur l'axe horizontal.
Contrôle. Le point P = (3 ; 0), situé sur D, a pour puissance −16 par rapport à chacun des trois cercles : 32 − 52 = −16, et la substitution dans les deux autres équations donne aussi −16.
En pratique
Dans une construction géométrique, un axe radical déjà connu permet de chercher le centre d'un nouveau cercle sur sa perpendiculaire passant par le centre du cercle de référence. Si le centre et le rayon sont directement donnés, cette construction n'est pas nécessaire.
Pour vérifier que trois cercles distincts deux à deux et non concentriques appartiennent au même faisceau, on détermine l'axe radical de deux paires. Si les deux droites coïncident, les trois cercles sont coaxiaux. Si elles sont distinctes et concourantes, on étudie plutôt leur centre radical commun.
Dans un calcul analytique, soustraire deux équations normalisées de cercles élimine les termes x2 et y2. L'équation linéaire restante donne l'axe radical. Cette méthode est préférable à une lecture du dessin lorsque les cercles ne se coupent pas visiblement.
À ne pas confondre
Axe radical et corde commune. Lorsque deux cercles se coupent, leur corde commune est portée par l'axe radical. Mais des cercles disjoints peuvent aussi avoir un axe radical : aucune corde réelle n'apparaît alors.
Axe radical et droite des centres. La droite des centres joint les centres de deux cercles. L'axe radical lui est perpendiculaire pour deux cercles non concentriques ; dans l'exemple, les centres sont sur y = 0 tandis que l'axe radical est x = 3.
Faisceau et famille quelconque de cercles. Plusieurs cercles dessinés ensemble ne forment pas forcément un faisceau. Le test décisif est l'existence d'une même droite comme axe radical de chaque paire de cercles distincts.
Limites et pièges
Le paramètre nul. Dans l'écriture Ct, la valeur t = 0 redonne C0. Deux exemplaires du même cercle ont la même puissance en tout point : leur comparaison ne sélectionne donc pas D. On inclut C0 dans le faisceau comme membre de référence, mais l'énoncé sur l'axe radical concerne deux membres distincts.
Deux cercles concentriques distincts. La différence de leurs puissances est constante et non nulle. Aucun point ne les équilibre, donc ils n'ont pas d'axe radical ordinaire. Une telle paire ne peut pas être décrite par la droite commune D du faisceau considéré ici.
Paramètres sans cercle réel. Pour une droite D extérieure au cercle de référence, certaines valeurs du paramètre peuvent produire un rayon au carré nul ou négatif. Il faut alors écarter le cercle-point et l'équation sans cercle réel, ou annoncer explicitement que l'on travaille dans un cadre généralisé.
Le dessin ne suffit pas. Une droite qui semble commune à plusieurs cercles n'est pas nécessairement leur axe radical. Le contrôle fiable consiste à soustraire leurs équations normalisées ou à comparer les puissances de points de cette droite.
Pour aller plus loin
Le glossaire axe radical détaille la droite qui rassemble les points de puissances égales pour deux cercles.
La fiche puissance d'un point par rapport à un cercle approfondit la quantité numérique utilisée pour définir cet axe.
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