centre radical

Imaginez trois cercles dessinés sur une feuille. Pour un point choisi, on peut mesurer sa puissance envers chaque cercle : cette mesure compare sa distance au centre avec le rayon. Le centre radical est le point où les trois mesures deviennent égales. On le repère en traçant deux axes radicaux, c'est-à-dire deux droites qui rassemblent les points de puissance égale pour deux cercles. Leur intersection donne le même point que le troisième axe, lorsque les centres des cercles ne sont pas alignés.

Pour un cercle de centre O et de rayon r, la puissance d'un point P est la différence entre le carré de la distance PO et le carré du rayon. Le centre radical de trois cercles est donc le point P dont les trois puissances sont égales. Chaque égalité entre deux puissances définit un axe radical, qui est une droite perpendiculaire à la ligne joignant les deux centres lorsque ceux-ci sont distincts.

Il suffit de construire les axes radicaux de deux paires de cercles. Si les trois centres sont non colinéaires, ces deux axes ne sont pas parallèles et se coupent en un point unique. Ce point appartient alors au troisième axe radical : les trois puissances y sont égales. La construction dépend donc de cercles coplanaires et de centres non alignés ; le rayon peut être nul dans certaines conventions, mais un cercle de rayon strictement positif est le cas géométrique usuel.

En notant P un point quelconque, O_i le centre du cercle i et r_i son rayon, la puissance de P envers ce cercle s'écrit $P{O}_i^2-r_i^{2}PO\_i^2-r\_i^2$. Au centre radical, les trois expressions ont la même valeur.

Considérons trois cercles de centres A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 3), et de rayons respectifs 2, 1 et 1. Leurs centres ne sont pas colinéaires. Pour trouver le centre radical P(x, y), on égalise d'abord les puissances du premier cercle avec celles des deux autres.

Avec A et B, l'égalité des puissances donne $x^2+y^2-4=(x-4{)}^2+y^2-1x^2+y^2-4=(x-4)^2+y^2-1$. Après développement, on obtient 8x = 19, donc x = 19/8.
Avec A et C, l'égalité donne $x^2+y^2-4=x^2+(y-3{)}^2-1x^2+y^2-4=x^2+(y-3)^2-1$. Elle conduit à 6y = 12, donc y = 2.
Le centre radical est donc P(19/8, 2).
Sa puissance envers A vaut $(19\mathrm{/}8{)}^2+2^2-2^2=361\mathrm{/}64(19/8)^2+2^2-2^2=361/64$.
Envers B, elle vaut $(19\mathrm{/}8-4{)}^2+2^2-1^2=361\mathrm{/}64(19/8-4)^2+2^2-1^2=361/64$ ; le même calcul avec C donne aussi 361/64.
Le contrôle confirme que les trois puissances sont égales, comme attendu.

La figure situe les trois cercles, les deux axes radicaux utilisés et leur point d'intersection P.

Dans une configuration de trois cercles, on peut construire deux axes radicaux, puis retenir leur intersection. Le troisième axe sert de contrôle : il doit passer par ce même point.

Pour un calcul, la puissance est pratique parce qu'elle remplace une comparaison visuelle des cercles par une égalité numérique. On calcule les carrés de distances et de rayons dans le même repère, puis on vérifie la troisième puissance.

Dans l'exemple, le centre radical P(19/8, 2) n'est le centre d'aucun des cercles : il n'est égal à aucun des centres A, B ou C. Plus généralement, le centre d'un cercle et le centre radical répondent à des critères différents : le premier est défini par son cercle, tandis que le second est le point où les puissances envers plusieurs cercles sont égales. Une configuration particulière peut toutefois faire coïncider ces deux points.

Le centre radical ne se définit pas comme l'intersection des trois cercles. Deux cercles peuvent ne pas se couper, alors que l'égalité de leurs puissances définit un axe radical ; le test pertinent reste cette égalité, non la présence d'un point commun aux circonférences. Cela n'exclut pas qu'un point commun aux trois circonférences puisse aussi être le centre radical dans une configuration particulière.

Si les trois centres sont colinéaires, l'existence et l'unicité du centre radical ne suivent plus la règle usuelle. Les axes radicaux sont alors parallèles ou confondus, car ils sont tous perpendiculaires à la même droite ; deux axes distincts ne déterminent donc généralement pas un point unique. Il faut examiner les équations des axes au lieu d'appliquer automatiquement la construction.

Un piège fréquent consiste à comparer les distances aux circonférences sans tenir compte des rayons. La puissance utilise des carrés : dans l'exemple, la valeur commune est exactement 361/64, et non une égalité des distances de P aux trois centres. Le signe de la puissance peut aussi varier selon que le point est à l'intérieur ou à l'extérieur d'un cercle ; seule l'égalité des trois valeurs est décisive ici.

Pour approfondir la quantité utilisée dans la construction, consultez la fiche « Puissance d'un point par rapport à un cercle » : elle détaille la mesure dont l'égalité définit les axes radicaux.

Pour voir le cadre géométrique où ces axes se regroupent, la fiche « Faisceau de cercles » présente le prolongement naturel vers les familles de cercles partageant une structure radicale.