cercles de Johnson

Imaginez trois cercles tracés avec un compas ouvert à 5 cm. Chacun passe par le même point P, mais leurs centres ne sont pas au même endroit. Chaque paire de cercles se recoupe une seconde fois. On obtient ainsi trois nouveaux points.

Le théorème de Johnson affirme que ces trois points ne sont pas disposés au hasard : ils appartiennent à un quatrième cercle, lui aussi de rayon 5 cm. L’égalité des quatre rayons est le ressort essentiel de la configuration.

Une configuration de Johnson part de trois cercles distincts de même rayon r, passant par un point commun P. Chaque paire doit avoir, en plus de P, un second point d’intersection bien déterminé. Notons Q₁₂, Q₂₃ et Q₃₁ ces trois points. Le théorème assure qu’ils appartiennent à un quatrième cercle de rayon r.

La relation apparaît nettement avec P comme origine. Les vecteurs o₁, o₂ et o₃ désignent les positions des trois centres ; chacun a pour longueur r. Les positions q_ij des secondes intersections vérifient :

Le point dont la position est s = o₁ + o₂ + o₃ est le centre du quatrième cercle. Par exemple, s − q₁₂ = o₃, donc la distance de ce centre à Q₁₂ vaut r ; le même raisonnement vaut pour les deux autres points. Cette écriture explique à la fois l’existence du quatrième cercle et l’égalité des rayons.

Dans un repère gradué en centimètres, prenons P pour origine et trois cercles de rayon 5 cm. Leurs centres sont O₁(5 ; 0), O₂(0 ; 5) et O₃(−3 ; −4). Chaque centre est bien à 5 cm de P, car les longueurs correspondantes sont 5, 5 et √(3² + 4²) = 5.

1. Additionnez les coordonnées de O₁ et O₂ : la seconde intersection est Q₁₂(5 ; 5).
2. Additionnez celles de O₂ et O₃ : Q₂₃(−3 ; 1).
3. Additionnez celles de O₃ et O₁ : Q₃₁(2 ; −4).

4. Additionnez enfin les trois centres. Le quatrième centre est S(2 ; 1). Ses distances aux trois points sont :

Le cercle de centre S et de rayon 5 cm passe donc par Q₁₂, Q₂₃ et Q₃₁. Le contrôle est refaisable en soustrayant les coordonnées de S à celles de chaque point : on retrouve successivement les vecteurs (3 ; 4), (−5 ; 0) et (0 ; −5), tous de longueur 5.

Pour construire la configuration, gardez la même ouverture de compas et placez trois centres à cette distance de P. Tracez les trois cercles, puis marquez leur seconde intersection deux à deux. Le cercle passant par ces trois marques doit conserver exactement la même ouverture.

Pour contrôler un dessin, mesurez d’abord les trois rayons initiaux. S’ils coïncident à la précision du tracé, déterminez le centre du cercle passant par les trois secondes intersections et comparez son rayon avec les précédents, en tenant compte de cette même précision.

Si les rayons initiaux diffèrent, le théorème de Johnson n’est pas le bon critère. On peut encore chercher le cercle circonscrit aux trois secondes intersections lorsqu’elles sont distinctes et non alignées, mais rien n’impose alors que son rayon égale l’un des trois rayons de départ.

Trois cercles simplement concourants. Le passage des trois cercles par un même point ne suffit pas. Le critère qui tranche est l’égalité de leurs rayons : sans elle, le cercle des trois autres intersections n’a aucune raison d’avoir ce rayon.

Un cercle circonscrit ordinaire. Trois points distincts et non alignés déterminent déjà un cercle. Dans la configuration de Johnson, l’information supplémentaire et testable est que ce cercle a le même rayon que les trois cercles initiaux.

Cercles confondus. Si deux centres sont identiques, les deux cercles coïncident et leur « autre point d’intersection » n’est pas unique. Il faut alors revenir à trois cercles distincts avant d’appliquer l’énoncé sous sa forme usuelle.

Tangence en P. Deux cercles de rayon r dont les centres sont distants de 2r sont tangents en P. Ils n’ont pas de seconde intersection distincte ; la construction des trois points Q_ij s’arrête donc à cette paire.

Dessin approché. Sur papier, des traits épais peuvent faire croire que quatre rayons mesurés sont différents. Il faut comparer les écarts à la précision du compas ou de la mesure, plutôt que réclamer une égalité numérique impossible à observer exactement.

La preuve vectorielle révèle une symétrie plus forte que le seul alignement des calculs. Parmi les quatre cercles de même rayon, chaque groupe de trois possède l’un des quatre points remarquables comme point commun : P pour les trois cercles initiaux, puis Q₁₂, Q₂₃ ou Q₃₁ lorsqu’on inclut le quatrième cercle. Cette permutation des rôles explique l’équivalence annoncée entre les quatre cercles.