méthode de Dürer

Imaginez un compas bloqué sur l'écartement d'un premier segment. Sans changer cette ouverture, on trace trois cercles, puis quelques droites pour placer les cinq sommets d'un pentagone. Le contour se ferme avec cinq côtés de même longueur. Pourtant, un rapporteur révèle un petit défaut : les angles ne valent pas tous 108°. La méthode de Dürer privilégie ainsi un tracé court et commode, au prix d'une légère approximation de la régularité.

La méthode de Dürer est une construction à la règle et au compas d'un pentagone approché. Elle part d'un segment nommé [AB]. Sa longueur fixe à la fois le côté du pentagone et l'ouverture unique du compas. Les trois cercles utilisés ont donc tous le rayon AB. Leurs intersections, complétées par deux droites et par la médiatrice de [AB], déterminent les trois autres sommets.

Le pentagone obtenu est équilatéral : ses cinq côtés ont la même longueur. Il n'est toutefois pas régulier, car être régulier exige aussi cinq angles égaux. Le calcul donne environ 108,37° pour les deux angles situés aux extrémités du côté initial, contre exactement 108° pour un pentagone régulier, et environ 109,19° pour l'angle opposé. La construction conserve donc très bien l'apparence attendue, mais pas l'égalité des angles. Dürer la présentait comme exacte ; Giovanni Battista Benedetti et Christoph Clavius en ont ensuite établi l'inexactitude.

À partir d'un segment [AB], conservez au compas le rayon AB. La médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par son milieu : chacun de ses points est à égale distance de A et B. Elle sert ici de ligne de repérage pour choisir M puis D.
1. Construisez cette médiatrice et les cercles de centres A et B.
2. Nommez I et J leurs intersections, puis tracez le cercle de centre J, toujours de rayon AB.
3. Nommez K et L ses nouvelles intersections avec les deux premiers cercles, et M son intersection avec la médiatrice située entre J et I.
4. Les droites (KM) et (LM) donnent les sommets latéraux C et E sur les cercles opposés.
5. Sur la médiatrice, parmi les deux points tels que CD = ED = AB, choisissez pour D celui pour lequel la droite (CE) sépare D de [AB]. Le contour ABCDE est alors équilatéral et presque régulier.

La construction s'applique dans le plan euclidien à partir de deux points distincts A et B. Le segment [AB] doit donc avoir une longueur non nulle. Une règle non graduée suffit pour tracer les droites, tandis que le compas garde constamment l'ouverture AB. Parmi les deux intersections des premiers cercles, le point J doit être choisi du côté opposé au futur sommet D ; le point M est alors l'intersection du troisième cercle située entre J et l'autre intersection I.

Si l'objectif impose cinq angles exactement égaux à 108°, cette procédure ne convient pas : une construction exacte du pentagone régulier doit être employée. Si A et B sont confondus, le rayon est nul, les cercles dégénèrent et aucun pentagone n'est déterminé.

On construit un pentagone de côté 4 cm. Les données sont le segment [AB] de longueur 4 cm, sa médiatrice et une ouverture de compas fixée à 4 cm.

1. Tracez les cercles de centres A et B, puis nommez I et J leurs deux intersections.
2. Tracez le cercle de centre J et de rayon 4 cm ; il fournit K, L et le point M de la médiatrice situé entre J et I.
3. Prolongez (KM) et (LM) jusqu'aux cercles opposés pour obtenir C et E.
4. Sur la médiatrice, placez D à l'intersection supérieure des cercles de centres C et E, toujours de rayon 4 cm.
5. Reliez les sommets dans l'ordre A, B, C, D et E. La figure permet de suivre ces intersections sans modifier l'ouverture du compas.

Le contrôle au compas donne AB = BC = CD = DE = EA = 4 cm. Le calcul des angles donne environ 108,37° en A et B, puis environ 109,19° en D. Leur écart avec 108° confirme que le résultat est équilatéral, mais seulement approché comme pentagone régulier. Une mesure au rapporteur cohérente avec ces valeurs fournit un contrôle expérimental.

Pour un tracé manuel rapide, on reporte d'abord la longueur du côté sur le compas, puis on conserve cette ouverture jusqu'à la fermeture du pentagone. L'absence de changement de rayon limite les reports et rend la procédure facile à reproduire sur une feuille.

Après le tracé, le compas contrôle l'égalité des cinq côtés. Un rapporteur sert à rendre visible l'approximation : des côtés égaux ne garantissent pas des angles égaux.

Lorsque la précision angulaire est déterminante, il faut préférer une construction exacte du pentagone régulier. La méthode de Dürer reste pertinente lorsque la simplicité du geste prime sur le faible écart des angles.

Pentagone équilatéral et pentagone régulier. Le premier exige seulement cinq côtés égaux ; le second exige aussi cinq angles égaux. Le pentagone de Dürer passe le contrôle des côtés, mais échoue au contrôle des angles.

Construction approchée et construction exacte. Une figure très proche visuellement d'un pentagone régulier n'est pas exacte pour autant. Si chaque angle doit valoir 108°, la construction de Dürer doit être remplacée par une méthode exacte.

L'égalité des côtés masque le défaut angulaire. Le compas retrouve bien cinq côtés égaux, mais le calcul donne environ 108,37° pour les angles de base et 109,19° pour l'angle au sommet. Il faut donc contrôler aussi les angles avant de qualifier le pentagone de régulier.

Changer l'échelle ne corrige pas l'approximation. Agrandir ou réduire AB agrandit ou réduit toute la figure dans la même proportion. Les valeurs des angles restent inchangées ; une construction exacte est nécessaire pour supprimer l'écart.

Le choix des intersections compte. Le troisième cercle coupe la médiatrice en deux points. Choisir l'intersection située au-delà de J, au lieu de celle située entre J et I, dirige les droites vers une autre configuration et ne produit pas le contour convexe attendu.

Le pentagone régulier précise les propriétés exactes auxquelles la construction de Dürer ne satisfait qu'approximativement.

La médiatrice explique pourquoi les points équidistants des extrémités de [AB] se trouvent sur la droite qui porte le sommet.

L'article Redécouvrir le génie de Dürer replace les recherches géométriques de l'artiste dans une perspective historique plus large.