GéométrieNotion · Glossaire
Élever une perpendiculaire
Élever une perpendiculaire à une droite en un point donné est une construction géométrique classique consistant à tracer une droite passant par ce point et formant un angle droit avec la droite donnée. À la règle et au compas, cette construction se réalise en dessinant un arc de cercle centré en ce point, puis en construisant la médiatrice de la corde obtenue. Cette opération est fondamentale dans les constructions géométriques élémentaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le cas où le point appartient à la droite du cas où il est extérieur.
- Construire la perpendiculaire avec une règle et un compas en quatre étapes.
- Contrôler la construction par les égalités de distances et la médiatrice.
En clair
Imaginez une route droite et un repère O peint sur son bord. Élever une perpendiculaire en O revient à tracer une seconde direction qui traverse O en formant quatre angles droits avec la première.
Le compas place d’abord deux points A et B à la même distance de O, un de chaque côté. Deux arcs de même rayon, centrés en A et B, donnent ensuite des points parfaitement alignés avec O dans la direction cherchée.
Définition
Élever une perpendiculaire à une droite donnée en un point O de cette droite, c’est construire l’unique droite du plan euclidien qui passe par O et lui est perpendiculaire. Les deux droites se coupent en formant un angle droit, de mesure 90°.
À la règle non graduée et au compas, on trace un cercle de centre O qui coupe la droite donnée en A et B. Les longueurs OA et OB sont donc égales, si bien que O est le milieu du segment AB. Deux arcs de même rayon, l’un centré en A et l’autre en B, se coupent en deux points C et D dès que leur rayon est strictement supérieur à OA. La droite CD est la médiatrice du segment AB : elle passe par son milieu O et lui est perpendiculaire.
Un seul des points C ou D suffit avec O pour tracer la droite cherchée. Employer les deux intersections évite toutefois de dépendre d’un repérage visuel du point O.
Un exemple, pas à pas
On veut élever en O la perpendiculaire à une droite donnée. Les données choisies sont OA = 3 cm, OB = 3 cm et un rayon de 5 cm pour les arcs centrés en A et B.
1. Ouvrez le compas à 3 cm. Piquez en O et marquez les deux intersections A et B avec la droite, de part et d’autre de O.
2. Ouvrez le compas à 5 cm. Sans modifier cette ouverture, tracez un arc centré en A, puis un arc centré en B. Nommez C et D leurs deux intersections.
3. Tracez à la règle la droite passant par C et D. Cette construction exacte fait apparaître simultanément les distances AC = BC = 5 cm et AD = BD = 5 cm.
4. Les triangles AOC et BOC sont superposables : ils ont trois côtés respectivement égaux. Les angles qu’ils forment en O sont donc égaux et adjacents sur une droite ; chacun mesure 90°.
La droite CD est la perpendiculaire cherchée. Pour contrôler le tracé, vérifiez au compas que C est à 5 cm de A et de B, puis que la droite CD passe bien par O.
En pratique
Sur papier, la règle et le compas donnent une construction exacte sans mesurer l’angle. Une équerre est plus rapide si son bord peut être placé précisément sur la droite et si une construction géométrique n’est pas exigée.
Pour dresser un axe perpendiculaire au milieu d’un segment, la même construction convient : le milieu est alors obtenu en même temps que la direction perpendiculaire. Si le milieu est déjà connu, il devient le point O.
Sur un chantier ou un grand terrain, on reproduit l’idée avec des distances égales et des arcs matérialisés par un cordeau. Une équerre de chantier reste préférable lorsque l’espace ne permet pas de tracer les deux arcs.
À ne pas confondre
Élever une perpendiculaire et construire une médiatrice. La première construction part d’une droite et d’un point O situé sur elle. La médiatrice part d’un segment et doit passer par son milieu. Dans l’exemple, CD remplit les deux rôles uniquement parce que O est le milieu de AB.
Élever et abaisser une perpendiculaire. On élève la perpendiculaire lorsque le point imposé appartient à la droite donnée. On l’abaisse lorsque le point imposé est extérieur à cette droite et que l’on cherche son pied sur elle.
Perpendiculaire et bissectrice. Une perpendiculaire forme un angle droit avec une droite. Une bissectrice partage un angle en deux angles égaux ; elle n’est perpendiculaire au côté opposé que dans certaines configurations particulières.
Limites et pièges
Point hors de la droite. Si O n’appartient pas à la droite donnée, la procédure décrite ne consiste plus à élever une perpendiculaire en O. Il faut employer la construction permettant d’abaisser depuis O une perpendiculaire sur la droite.
Arcs trop courts. Si le rayon commun des arcs centrés en A et B est inférieur à OA, ils ne se rencontrent pas. S’il est égal à OA, ils n’ont que le point O en commun. Il faut choisir un rayon strictement supérieur à OA pour obtenir deux intersections distinctes C et D.
Ouverture modifiée. Si le compas ne garde pas le même rayon depuis A puis depuis B, les intersections ne sont plus nécessairement équidistantes de A et B. La droite obtenue peut alors manquer O ou ne pas former un angle droit.
Tracé matériel. L’unicité de la perpendiculaire est exacte dans le plan euclidien, mais l’épaisseur des traits et le jeu du compas créent une incertitude dans la représentation. Le contrôle porte donc sur la précision de l’instrument, non sur une coïncidence visuelle parfaite.
Pour aller plus loin
Médiatrice. Approfondissez la droite équidistante des extrémités d’un segment, qui fournit ici la perpendiculaire cherchée et justifie la construction.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres