cercle de van Lamoen

Tracez les trois médianes d’un triangle, chacune reliant un sommet au milieu du côté opposé. Elles se rencontrent en un point et découpent la figure en six petits triangles. Entourez mentalement chacun de ces petits triangles par son propre cercle, puis marquez seulement le centre de chaque cercle.

Les six centres ainsi obtenus se placent tous sur un même cercle. C’est ce cercle des centres, et non l’un des six cercles tracés au départ, que l’on appelle cercle de van Lamoen.

Soit un triangle non dégénéré ABC. Le milieu du côté BC est noté D, celui de CA est noté E et celui de AB est noté F. Les médianes AD, BE et CF se coupent au centre de gravité G. Elles déterminent les six triangles AFG, AEG, BFG, BDG, CDG et CEG.

Chacun de ces six triangles possède un cercle circonscrit, dont le centre est l’intersection de deux médiatrices. Le théorème de van Lamoen affirme que ces six centres sont cocycliques : il existe un cercle qui les contient tous. Ce cercle est le cercle de van Lamoen associé au triangle ABC. Sa définition dépend des médianes et des centres des six cercles circonscrits ; sa taille, sa position ou son orientation sur une page ne la modifient pas.

Floor van Lamoen a établi ce résultat en 2000 avec l’aide d’outils informatiques. Des démonstrations élémentaires ont ensuite été proposées. Dans le cadre de généralisation mentionné par la source, une réciproque caractérise la configuration issue des médianes par la cocyclicité des six centres.

La construction réunit cinq éléments nécessaires. Le triangle ABC fournit les trois sommets et les côtés. Les milieux D, E et F fixent les extrémités des médianes. Les trois médianes déterminent leur point commun G et les six sous-triangles. Chaque sous-triangle détermine ensuite un cercle circonscrit, donc un centre. Enfin, le cercle de van Lamoen passe par ces six centres.

Les dépendances sont successives : déplacer un sommet change les milieux, puis les médianes et les six centres ; choisir des segments qui ne vont pas aux milieux ne reproduit plus la construction. En revanche, les couleurs, l’échelle du dessin et l’ordre dans lequel on construit les médiatrices ne définissent pas l’objet. Ces données suffisent à construire le cercle et à contrôler la cocyclicité de ses six points.

Prenons A(0, 0), B(6, 0) et C(0, 4). Les données sont donc un triangle rectangle non dégénéré et ses trois sommets dans un repère orthonormé.

1. Les milieux calculés sont D(3, 2), E(0, 2) et F(3, 0). Le point commun aux médianes est G(2, 4/3), moyenne des coordonnées des trois sommets.

2. Pour chaque petit triangle, l’intersection de deux médiatrices donne successivement les six centres :
O₁(3/2, −1/12), O₂(7/9, 1), O₃(9/2, 13/6),
O₄(67/18, −1/6), O₅(14/9, 37/12) et O₆(13/9, 3).

3. Posons x et y pour les coordonnées d’un point du plan. Les six couples vérifient la même équation : $(x-\frac{577}{216}{)}^2+(y-\frac{959}{648}{)}^2=\frac{801125}{209952}(x-\backslash frac\{577\}\{216\})^2+(y-\backslash frac\{959\}\{648\})^2=\backslash frac\{801125\}\{209952\}$.

4. Le cercle a donc pour centre (577/216, 959/648) et pour rayon la racine carrée de 801125/209952. Le contrôle est refaisable : remplacer x et y par chacun des six centres rend le membre de gauche égal à 801125/209952. La figure matérialise cette vérification exacte.

Pour construire la figure à la règle et au compas, on commence par les milieux et les médianes. On trace ensuite deux médiatrices dans chacun des six sous-triangles. Si une construction exacte est nécessaire, ces médiatrices sont préférables à un centre estimé à l’œil.

Pour contrôler une figure obtenue avec un logiciel de géométrie, on crée le cercle passant par trois des centres, puis on teste l’appartenance des trois autres. Si le dessin est trop imprécis pour trancher, le calcul de leurs coordonnées et de leurs distances à un même point fournit une vérification plus sûre.

Pour étudier une configuration de six segments issus des sommets, on vérifie d’abord qu’ils atteignent les milieux des côtés. Si ce critère échoue, on parle de segments joignant un sommet au côté plutôt que de médianes, et le théorème ne s’applique pas automatiquement.

Avec le cercle circonscrit au triangle ABC. Celui-ci passe par les trois sommets A, B et C. Le cercle de van Lamoen passe par les centres des cercles circonscrits aux six sous-triangles. Tester les points traversés par le cercle tranche immédiatement.

Avec les six cercles circonscrits. Ces six cercles entourent séparément les sous-triangles. Le cercle de van Lamoen est un septième cercle, construit à partir de leurs centres : si l’on suit les sommets des petits triangles au lieu de leurs centres, on examine le mauvais objet.

Un triangle dégénéré bloque la construction. Si les trois sommets sont alignés, certains sous-triangles sont aplatis et leur cercle circonscrit n’est pas défini. Il faut partir de trois sommets non alignés.

Cocycliques ne signifie ni confondus ni régulièrement espacés. Dans un triangle quelconque, les six centres peuvent être distribués de façon très inégale. Il faut vérifier leur appartenance à un même cercle, pas l’égalité des arcs entre points voisins.

Une figure symétrique peut faire coïncider des centres. Dans un triangle équilatéral, les deux petits triangles voisins d’une même médiane ont la même hypoténuse et donc le même centre circonscrit. On compte alors six centres avec répétitions, mais seulement trois positions distinctes ; ces trois positions restent sur un cercle.

La réciproque demande son cadre de généralisation. Observer six centres cocycliques sur un dessin ne suffit pas à déclarer arbitrairement que des segments sont des médianes. Il faut conserver les hypothèses de la configuration à laquelle la réciproque s’applique.

Deux prolongements se dégagent du résultat de 2000. Le premier consiste à comparer une preuve assistée par ordinateur aux démonstrations élémentaires proposées ensuite, afin d’identifier les relations géométriques qui imposent la cocyclicité. Le second consiste à étudier précisément la réciproque dans son cadre de généralisation : la propriété des six centres devient alors un critère pour reconnaître la configuration des médianes.