cercle de Conway

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille, puis prolongez ses trois côtés au-delà des sommets. Depuis chaque sommet, marquez un point sur chacune des deux droites voisines, toujours vers l'extérieur. La distance reportée est celle du côté situé en face de ce sommet.

Cette opération produit six points. Bien qu'ils soient placés sur trois droites différentes, un même cercle passe par tous : c'est le cercle de Conway.

Soit un triangle non aplati dont les sommets sont A, B et C. Les droites portant ses côtés sont prolongées. Depuis A, sur les deux demi-droites extérieures aux côtés AB et AC, on place deux points à la distance BC de A. Depuis B, on fait de même à la distance AC de B. Depuis C, la distance reportée est AB.

Les six points ainsi obtenus sont cocycliques : ils appartiennent à un cercle unique, appelé cercle de Conway. Les longueurs sont reportées sur les prolongements tournés à l'opposé du côté correspondant ; choisir l'autre sens ne décrit donc pas cette construction.

Le nom rend hommage à John Horton Conway (1937-2020), mathématicien britannique connu notamment pour ses contributions à la théorie des jeux et à la combinatoire.

La construction réunit quatre éléments. Le triangle ABC fournit trois sommets et trois longueurs. Les trois droites de côté donnent les directions de report. Les six demi-droites extérieures fixent le sens à partir de chaque sommet. Enfin, les six points marquent les extrémités des longueurs reportées.

Chaque sommet commande deux points, tandis qu'un même côté du triangle fournit la longueur reportée depuis le sommet opposé. Les positions des six points dépendent donc à la fois des droites et des trois longueurs. Ces données suffisent à tracer le cercle ; l'épaisseur des traits, les couleurs et l'échelle du dessin ne le définissent pas.

Prenons un repère et le triangle rectangle de sommets A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Ses longueurs sont AB = 4, AC = 3 et BC = 5.

1. Depuis A, le report de BC sur les prolongements extérieurs donne les points (−5 ; 0) et (0 ; −5).
2. Depuis B, le report de AC donne (7 ; 0) et (32/5 ; −9/5).
3. Depuis C, le report de AB donne (0 ; 7) et (−16/5 ; 27/5).

Le point de coordonnées (1 ; 1) est à la distance √37 de chacun des six points. Par exemple, pour (−5 ; 0), le carré de cette distance vaut (−5 − 1)² + (0 − 1)² = 37 ; pour (32/5 ; −9/5), il vaut (27/5)² + (−14/5)² = 37. Les quatre autres contrôles donnent aussi 37. Le cercle de centre (1 ; 1) et de rayon √37 passe donc par les six points. La figure matérialise ce même contrôle.

Pour construire le cercle sur papier, prolongez d'abord les trois côtés. Réglez ensuite le compas sur la longueur du côté opposé et reportez cette ouverture sur les deux prolongements issus du sommet concerné.

Pour contrôler un tracé, construisez le cercle passant par trois points obtenus qui ne sont pas alignés, puis observez les trois autres. S'ils ne tombent pas sur ce cercle à la précision du dessin, vérifiez d'abord le sens des prolongements et l'ouverture du compas.

Avec un logiciel de géométrie, conservez les points dépendants des sommets du triangle. En déplaçant un sommet, les reports doivent rester égaux aux côtés opposés ; un simple dessin de six points fixes ne teste pas la propriété.

Le cercle de Conway n'est pas le cercle circonscrit au triangle. Le cercle circonscrit passe par A, B et C ; le cercle de Conway passe par les six points construits sur les prolongements. Dans l'exemple rectangle, son centre est (1 ; 1), et non le milieu de l'hypoténuse BC.

Il ne faut pas non plus confondre l'objet avec la seule propriété d'être cocycliques. Des points quelconques peuvent appartenir à un même cercle ; ici, les six points doivent provenir des reports de longueurs imposés par un triangle. La fiche Cocycliques précise cette propriété générale.

La construction suppose un triangle non aplati. Si A, B et C sont alignés, les droites de côté se confondent et les points obtenus ne déterminent pas le cercle de la construction usuelle. Il faut alors traiter la figure comme un cas dégéné, et non annoncer un cercle de Conway.

Un point placé sur le bon support mais du mauvais côté du sommet est un piège fréquent. Le symptôme est que le cercle passant par trois points manque les autres. Il faut repartir de la demi-droite extérieure, opposée au segment du triangle.

Sur un dessin mesuré, l'épaisseur du trait empêche d'exiger une coïncidence parfaite. Un écart inférieur à la précision de la règle ou du compas reste compatible avec la construction ; un écart visible doit conduire à revérifier les reports.

La notion de points cocycliques permet de replacer le résultat dans un cadre plus général : elle explique ce que signifie partager un même cercle, indépendamment de la construction de Conway.