GéométrieNotion · Glossaire
droites antiparallèles
Deux couples de droites sont antiparallèles lorsqu'ils ont les mêmes directions de bissectrices : les bissectrices des angles formés par le premier couple sont parallèles ou confondues avec celles du second. Au niveau des directions, la configuration s'interprète comme un effet miroir par rapport à un axe parallèle à ces bissectrices ; une bissectrice commune ne sert d'axe que lorsqu'elles sont confondues. Dans un triangle, deux droites sont antiparallèles par rapport à un angle lorsqu'elles font avec ses côtés des angles égaux mais permutés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître l'échange des angles formés avec les côtés d'un triangle.
- Vérifier l'antiparallélisme par un calcul de pentes et de tangentes.
- Relier l'antiparallélisme à la cocyclicité de quatre points.
- Écarter les cas dégénés et les confusions avec le parallélisme.
En clair
Tracez un angle, puis deux segments qui relient ses côtés. Le second est antiparallèle au premier lorsque les inclinaisons observées sur les deux côtés s'échangent. L'angle que le premier segment fait d'un côté réapparaît de l'autre côté pour le second segment.
On peut imaginer un segment retourné par un miroir placé sur la bissectrice de l'angle. Dans un triangle, cette disposition relie naturellement l'antiparallélisme à un cercle passant par les quatre points où les deux segments rencontrent les côtés.
Définition
L'antiparallélisme compare deux couples de droites. Les couples formés par les droites d et d', d'une part, et par les droites Δ et Δ', d'autre part, sont antiparallèles lorsque les bissectrices de leurs angles ont les mêmes directions. Ces bissectrices peuvent être parallèles ou confondues. Au niveau des directions, une réflexion par rapport à un axe parallèle à ces bissectrices échange alors les deux directions au sein de chacun des couples ; cet axe peut être une bissectrice commune lorsque les bissectrices sont confondues.
Dans un triangle dont les sommets sont A, B et C, prenons un point D à l'intérieur du côté [AB] et un point E à l'intérieur du côté [AC]. La droite (DE) est antiparallèle à la base (BC) par rapport à l'angle de sommet A lorsque les angles sont égaux en ordre croisé : . Les angles formés avec les deux côtés de l'angle A sont donc permutés, et non simplement égaux du même côté.
Pour ces points intérieurs, ce critère angulaire équivaut à dire que B, C, D et E appartiennent à un même cercle. Cette propriété donne deux moyens de reconnaissance : comparer les angles croisés ou établir que les quatre points sont cocycliques.
Un exemple, pas à pas
Dans un repère orthonormé, le triangle ABC est rectangle en A et le segment DE joint ses deux côtés. Testons l'antiparallélisme de (DE) et (BC) par rapport à l'angle A.
Données : A a pour coordonnées (0 ; 0), B (4 ; 0), C (0 ; 3), D (1 ; 0) et E (0 ; 4/3). D et E appartiennent respectivement à [AB] et [AC].
La figure matérialise le croisement des inclinaisons et le cercle utilisé pour le contrôle final.
1. Sur la base BC, le déplacement horizontal vaut 4 et le déplacement vertical vaut 3. L'angle aigu avec le côté AB a donc pour tangente 3/4.
2. Sur DE, le déplacement horizontal vaut 1 et le déplacement vertical vaut 4/3. Son angle aigu avec le côté AC a pour tangente . Le premier angle croisé coïncide.
3. Réciproquement, l'angle aigu de BC avec AC et celui de DE avec AB ont tous deux pour tangente 4/3. Le second angle croisé coïncide aussi.
4. Comme contrôle indépendant, les quatre points B, C, D et E vérifient la même équation de cercle : . Ils sont donc cocycliques.
Les deux tests concordent : (DE) est antiparallèle à (BC) par rapport à l'angle A.
En pratique
Dans une figure de triangle, on cherche d'abord deux angles placés en ordre croisé. Si l'angle formé par DE avec AB est égal à celui formé par BC avec AC, puis réciproquement, l'antiparallélisme est le bon diagnostic.
Si les mesures d'angles sont peu lisibles, on peut chercher un cercle passant par B, C, D et E. La cocyclicité fournit alors un autre critère ; un simple parallélisme de DE et BC ne suffit pas.
Pour construire dans le triangle une antiparallèle à BC passant par un point D strictement intérieur au côté [AB], on trace le cercle passant par B, C et D. Sa seconde intersection E avec la droite (AC) détermine la droite cherchée lorsqu'elle est distincte de C et appartient strictement au côté [AC]. Si E se trouve sur un prolongement, la construction donne encore une antiparallèle aux droites (AB) et (AC), mais les angles doivent être interprétés avec la convention adaptée.
À ne pas confondre
Droites parallèles. Deux droites parallèles ont la même direction. Deux droites dites antiparallèles sont au contraire comparées relativement à un autre couple ou aux côtés d'un angle. Dans l'exemple, les pentes de BC et DE valent respectivement −3/4 et −4/3 : les droites ne sont pas parallèles, mais leurs angles avec les côtés de l'angle A sont permutés.
Directions opposées. Le préfixe « anti- » ne signifie pas ici que deux vecteurs pointent en sens contraires. Retourner l'orientation d'une même droite ne change ni la droite ni le test d'antiparallélisme ; ce sont les directions de deux couples et leurs bissectrices qui comptent.
Limites et pièges
Angles non orientés. Lorsque les points se trouvent sur les prolongements des côtés, un dessin peut faire comparer un angle aigu à son supplémentaire. Il faut alors préciser les demi-droites employées ou travailler avec des angles orientés modulo 180°.
Points confondus. Si D coïncide avec B et E avec C, la prétendue antiparallèle est la base elle-même. Les « quatre points » ne sont plus distincts : le critère du cercle devient dégéné et ne doit pas servir de preuve.
Angle aplati. Si les deux côtés censés former l'angle sont confondus, le cadre triangulaire disparaît et l'échange de deux inclinaisons n'identifie plus la configuration voulue. Il faut revenir à un angle non dégéné.
Pour aller plus loin
L'article Les curiosités de l’antiparallélisme prolonge la notion par d'autres configurations géométriques et aide à repérer ce jeu de directions au-delà de l'exemple conducteur.
La fiche Cocycliques approfondit le critère du cercle qui permet de reconnaître une antiparallèle dans un triangle.
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