quadrangle inscrit

Imaginez quatre points A, B, C et D placés sur le bord d’un même cercle, puis reliés dans cet ordre. Le quadrangle obtenu est inscrit : ses sommets restent sur une seule circonférence. On peut aussi le reconnaître par la manière dont ses côtés opposés se répondent. Les deux couples (AB, CD) et (BC, DA) ont alors les mêmes deux directions de bissectrices, considérées comme des directions de droites non orientées, modulo 180° ; on dit qu’ils sont antiparallèles. Cette propriété permet de vérifier l’inscriptibilité même lorsque le cercle n’est pas encore tracé.

Un quadrangle est une figure formée par quatre sommets A, B, C et D, reliés successivement par les côtés AB, BC, CD et DA. Il est inscrit, ou inscriptible, lorsqu’il existe un même cercle passant par A, B, C et D ; on dit alors que les quatre sommets sont concycliques. Le cercle concerné est le cercle circonscrit au quadrangle.

La caractérisation donnée ici utilise les côtés opposés. Les couples de droites (AB, CD) et (BC, DA) sont comparés. Deux couples de droites sont antiparallèles lorsque leurs deux directions de bissectrices coïncident comme directions de droites non orientées, donc modulo 180° : ce sont les directions qui partagent les angles formés par chaque couple. Sous l’hypothèse d’un quadrangle non dégénéré, il est inscriptible si et seulement si les deux couples (AB, CD) et (BC, DA) sont antiparallèles.

La condition porte sur les directions des droites, et non sur leur longueur, leur couleur ou leur orientation dans le dessin. Elle suppose que les côtés et leurs angles sont définis ; un tracé dégénéré où des sommets se confondent ne fournit pas un quadrangle ordinaire.

On considère un cercle de centre O et de rayon 5, ainsi que quatre points A, B, C et D situés sur ce cercle aux angles 0°, 40°, 130° et 250° autour de O. Ils sont reliés dans l’ordre A-B-C-D-A. Le but est de vérifier que ce quadrangle est inscrit et d’observer la condition sur ses côtés.

Les données sont les suivantes : le centre est O ; le rayon vaut 5 ; les positions angulaires sont A = 0°, B = 40°, C = 130° et D = 250°. Chaque sommet est donc construit à la même distance 5 de O.

La première vérification consiste à constater que OA = OB = OC = OD = 5. Les quatre sommets appartiennent donc au même cercle. Le quadrangle est bien inscrit. Les directions des côtés AB et CD ont des bissectrices de mêmes directions que celles des côtés BC et DA : deux couples de côtés opposés sont antiparallèles.

Le contrôle final est visuel et refaisable : le contour A-B-C-D-A doit rester entièrement relié, chaque sommet doit se trouver sur la circonférence, et le centre O doit être à distance 5 de chacun d’eux. Ces trois vérifications suffisent ici à confirmer la construction.

Pour reconnaître la figure sur un dessin, on repère d’abord quatre sommets distincts reliés successivement. On cherche ensuite un cercle passant par les quatre points, plutôt que de se fier à la seule forme du contour.

Lorsque le cercle n’est pas visible, on peut comparer les côtés opposés par leurs directions de bissectrices. Ce test géométrique est préférable à une impression de symétrie, car un dessin peut être déformé par son échelle ou son orientation.

Dans une construction, placer les quatre sommets à une même distance d’un centre fournit une vérification directe. Si les distances ne concordent pas, il faut rechercher une erreur de tracé ou employer un test d’alignement avec la circonférence.

Un quadrangle inscrit ne se confond pas avec un quadrangle quelconque. Le critère qui tranche est l’existence d’un même cercle passant par les quatre sommets. Un quadrangle dont trois sommets déterminent un cercle mais dont le quatrième n’appartient pas à ce cercle n’est pas inscrit.

Il ne faut pas non plus confondre côtés opposés et côtés consécutifs. Dans A-B-C-D-A, AB et CD forment un couple opposé, tandis que AB et BC se suivent au sommet B. La caractérisation par antiparallélisme porte sur les couples opposés, pas sur deux côtés qui partagent un sommet.

Un dessin presque circulaire peut tromper l’œil. Le symptôme est qu’un quatrième sommet semble toucher la circonférence sans que la construction ou la mesure le confirme. Il faut alors vérifier son appartenance au cercle à la précision du tracé, au lieu de conclure d’après l’apparence.

Le cas où deux sommets se confondent, où trois sommets sont alignés, ou où un côté n’est plus une droite déterminée est dégénéré. Les mots « quadrangle inscrit » ne s’y appliquent pas au sens usuel ; il faut préciser la configuration dégénérée avant d’utiliser une propriété de la figure.

Lorsque des côtés sont parallèles, les deux directions de bissectrices restent déterminées, à permutation près, par les deux directions de droites ; la convention d’angles orientés ne crée pas de directions supplémentaires. Le schéma peut toutefois les rendre moins parlantes, et la vérification par le cercle commun reste la référence la plus sûre.

Le glossaire du quadrangle rappelle la structure générale de la figure : il aide à identifier les sommets et les côtés avant d’examiner l’inscriptibilité. Pour relier cette construction aux angles formés par les cordes, le théorème de l’angle inscrit donne un prolongement naturel : il permet d’étudier les angles qui s’appuient sur un même arc.