quadrangle

Placez quatre points sur une feuille, en veillant à ce qu'aucun trio ne soit aligné. Une règle permet alors de tracer une droite entre chaque paire de points. On obtient six droites, et non le seul contour à quatre côtés que l'œil imagine d'abord.

Cette configuration est un quadrangle. Ses droites se regroupent en trois paires sans sommet commun. Lorsque les deux droites d'une telle paire se coupent, leur intersection est un point diagonal.

Un quadrangle est déterminé par quatre points distincts A, B, C et D du plan, appelés sommets, tels que trois quelconques ne soient pas alignés. Relier chaque paire de sommets donne exactement six droites : AB, AC, AD, BC, BD et CD. Dans ce vocabulaire, ces six droites entières sont les côtés du quadrangle ; il ne s'agit donc pas seulement de quatre segments formant un contour.

Deux côtés sont opposés lorsqu'ils n'ont aucun sommet du quadrangle en commun. Les trois paires opposées sont AB et CD, AC et BD, puis AD et BC. Dans le cadre affine de la définition source, si aucune de ces paires n'est parallèle, chacune fournit une intersection : les trois points ainsi obtenus sont les points diagonaux. La configuration est alors qualifiée de quadrangle complet.

Le quadrangle complet compte donc quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux. Le quadrilatère complet inverse le rôle des données de départ : il comporte quatre côtés, six sommets et trois diagonales.

Dans un repère cartésien, on choisit les sommets A de coordonnées (0 ; 0), B de coordonnées (5 ; 0), C de coordonnées (4 ; 3) et D de coordonnées (1 ; 2). Aucun trio de ces points n'est aligné.

1. Les six droites joignent les paires AB, AC, AD, BC, BD et CD.
2. La première paire opposée est formée par AB, d'équation y = 0, et CD, d'équation x − 3y + 5 = 0. Son intersection est notée P.
3. La deuxième paire réunit AC, d'équation 3x − 4y = 0, et BD, d'équation x + 2y − 5 = 0. Son intersection est notée Q.
4. La dernière paire réunit AD, d'équation 2x − y = 0, et BC, d'équation 3x + y − 15 = 0. Son intersection est notée R.

Les trois intersections existent et sont distinctes : ce quadrangle est complet. Le tracé montre aussi que P et R peuvent se trouver hors de la zone délimitée par les quatre sommets. Pour contrôler les résultats, on remplace les coordonnées de P, Q et R dans les deux équations de leur paire : chaque membre s'annule bien.

Pour décrire une configuration de quatre points, le quadrangle convient lorsque les six liaisons entre paires comptent. Si seul un contour ordonné de quatre segments est étudié, le quadrilatère est l'objet adapté.

Dans une construction d'incidence, on écrit d'abord les six côtés, puis on les range en trois paires opposées. Ce geste évite d'oublier une intersection ou d'associer deux droites qui partagent déjà un sommet.

Sur un dessin affine, il faut prolonger les six droites assez loin pour chercher les points diagonaux. Si deux côtés opposés restent parallèles, la version complète à intersections finies décrite ici ne s'applique pas.

Quadrangle complet et quadrilatère complet. Le critère décisif est la donnée de départ. Le quadrangle complet part de quatre sommets et engendre six côtés ainsi que trois points diagonaux ; le quadrilatère complet part de quatre côtés, engendre six sommets et possède trois diagonales, qui sont des droites.

Trois sommets alignés. Si trois des quatre points appartiennent à une même droite, plusieurs liaisons se confondent. Le symptôme est l'absence de six côtés distincts : les points ne forment pas un quadrangle en position générale.

Côtés opposés parallèles. Dans le plan affine, une telle paire ne fournit aucun point diagonal fini. Il faut alors signaler que la condition de complétude retenue par cette fiche n'est pas satisfaite, plutôt que d'inventer une intersection dans la représentation.

Point diagonal hors du contour apparent. Une intersection de côtés opposés peut se situer loin des quatre sommets, comme P et R dans l'exemple. Il faut prolonger les droites : limiter le tracé aux segments entre sommets masquerait ces points sans les faire disparaître.

La fiche quadrilatère complet permet d'approfondir la configuration duale fondée sur quatre droites plutôt que sur quatre points.

La géométrie projective replace les intersections du quadrangle dans le cadre où les questions d'incidence occupent le premier plan.