droite de Newton

Tracez quatre droites qui se coupent deux à deux, sans que trois d’entre elles passent par le même point. Elles font apparaître six intersections. En reliant les intersections opposées, on obtient trois segments appelés diagonales.

Marquez le milieu de chacune de ces trois diagonales. Même si la figure semble irrégulière, les trois marques tombent sur une seule droite : la droite de Newton. L’alignement ne dépend donc pas d’une symétrie visible du dessin.

La droite de Newton est la droite qui porte les milieux des trois diagonales d’un quadrilatère complet. Dans la présentation affine usuelle, quatre droites sont en position générale : deux droites quelconques se rencontrent et aucun point n’appartient à trois d’entre elles. Leurs intersections deux à deux donnent six points.

On peut nommer quatre intersections successives A, B, C et D. Le point E est l’intersection des droites (AB) et (CD), tandis que le point F est l’intersection des droites (AD) et (BC). Les trois diagonales du quadrilatère complet sont alors les segments [AC], [BD] et [EF]. Si I, J et K désignent leurs milieux respectifs, le théorème de Newton donne l’alignement suivant : $I,J,K\text{sont align}\acute{\text{e}}\text{s}I,\backslash ,J,\backslash ,K\backslash \; \backslash text\{sont\; alignés\}$. Ce résultat vaut pour toute configuration en position générale : une justification consiste à placer les quatre droites dans un repère, à exprimer E, F puis les trois milieux, et à éliminer les paramètres pour obtenir une même équation affine pour I, J et K. L’exemple guidé reprend ce mécanisme dans une configuration particulière ; il y vérifie le théorème, sans constituer à lui seul une démonstration générale.

La droite commune à I, J et K est unique dès que ces trois milieux ne sont pas confondus. La configuration n’a besoin d’être ni régulière ni convexe ; ce sont les incidences entre les quatre droites et les six intersections qui comptent.

La configuration réunit cinq éléments. Les quatre droites constituent le support initial. Les six intersections, notées A, B, C, D, E et F, dépendent de leurs rencontres deux à deux. Les trois diagonales [AC], [BD] et [EF] relient des intersections opposées. Les trois milieux I, J et K dépendent chacun d’une diagonale. La droite de Newton est enfin déterminée par leur alignement.

La couleur, l’épaisseur et l’orientation du tracé ne définissent pas cette structure. Les quatre droites et leur position générale suffisent à construire les six points, puis les diagonales et leurs milieux. Le théorème garantit alors que la même droite passe par I, J et K.

Considérons quatre sommets dans un repère : A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(3 ; 3) et D(0 ; 2). Les quatre côtés prolongés sont portés par les droites y = 0, y = −3x + 12, y = x/3 + 2 et x = 0. Une représentation de cette configuration permet de suivre les six intersections et les trois milieux.

1. L’intersection E de (AB) et (CD) s’obtient en posant y = 0 dans y = x/3 + 2. On trouve E(−6 ; 0). L’intersection F de (AD) et (BC) vérifie x = 0, donc F(0 ; 12).

2. Calculons les milieux I de [AC], J de [BD] et K de [EF] :

3. Pour chacun de ces points, la somme de l’abscisse et de l’ordonnée vaut 3. Ils appartiennent donc tous à la droite d’équation x + y = 3.

Le contrôle est refaisable directement : 1,5 + 1,5 = 3, 2 + 1 = 3 et −3 + 6 = 3. Les trois milieux sont bien alignés sur la droite de Newton.

Sur une figure tracée à la main, prolongez les quatre côtés pour faire apparaître E et F, puis construisez les trois milieux. La règle donne une première vérification de leur alignement.

Lorsque deux intersections sont très éloignées ou que le dessin manque de précision, préférez un repère. Calculez E, F et les trois milieux, puis vérifiez qu’ils satisfont une même équation de droite.

Un alignement seulement visible reste une conjecture graphique. Pour une conclusion exacte, le calcul des coordonnées ou une démonstration géométrique doit remplacer l’estimation à l’œil.

Les diagonales d’un quadrilatère ordinaire. Un quadrilatère décrit par quatre sommets possède les deux diagonales [AC] et [BD]. Dans le quadrilatère complet, les côtés opposés prolongés fournissent aussi E et F ; [EF] est alors la troisième diagonale dont le milieu intervient dans la droite de Newton.

Des droites parallèles. Si (AB) et (CD), ou bien (AD) et (BC), sont parallèles dans le plan affine, E ou F n’est pas un point fini. Le segment [EF] et son milieu ne se construisent plus de la manière décrite ici. Il faut changer de cadre ou traiter séparément cette configuration dégénérée.

Trois droites concourantes. Si trois des quatre droites passent par un même point, plusieurs des six intersections se confondent. Le quadrilatère complet n’est plus en position générale ; il ne faut pas appliquer mécaniquement la construction des trois diagonales.

Une transformation projective quelconque. Les incidences et les alignements sont projectifs, mais le milieu d’un segment est une notion affine. Après une transformation projective qui ne préserve pas la structure affine choisie, les images de I, J et K ne sont pas nécessairement les milieux des segments transformés.

Un dessin presque aligné. L’épaisseur des traits peut masquer un petit écart. Le symptôme est que les sommes ou les déterminants calculés ne coïncident pas exactement ; il faut contrôler l’alignement par un calcul, et non corriger le dessin à vue.

quadrilatère — Pour replacer les sommets, les côtés et les diagonales dans le vocabulaire élémentaire des figures à quatre côtés.

Diagonale — Pour préciser le rôle d’une diagonale et comprendre pourquoi la configuration complète en fait intervenir trois.

géométrie projective — Pour approfondir le cadre où les incidences entre points et droites prennent le pas sur les mesures.