quadrilatère complet

Tracez quatre droites assez inclinées pour que chacune rencontre les trois autres en un point différent. En comptant leurs croisements, vous obtenez six sommets. Quatre de ces sommets peuvent dessiner un quadrilatère convexe ; les deux autres se trouvent au croisement des côtés opposés prolongés.

La figure entière, prolongements compris, est le quadrilatère complet. Elle fait apparaître trois paires de sommets opposés. Les trois droites qui relient ces paires sont ses diagonales.

Un quadrilatère complet est formé de quatre droites distinctes d'un même plan. Aucune paire n'est parallèle et aucun point n'appartient à trois de ces droites. Les six intersections deux à deux sont ses six sommets. Le mot « côtés » désigne ici les quatre droites porteuses, et non quatre segments qui borneraient une région.

En partant d'un quadrilatère convexe dont les sommets sont A, B, C et D, on prolonge les côtés. Le point E est l'intersection des droites (AB) et (CD), tandis que F est l'intersection de (AD) et (BC). Les six sommets sont alors A, B, C, D, E et F. Les paires opposées sont celles dont les points ne partagent aucune des quatre droites : A avec C, B avec D, et E avec F. Leurs trois droites de jonction, (AC), (BD) et (EF), sont les diagonales du quadrilatère complet.

Cette configuration relève naturellement de la géométrie projective. Sur chacune des trois diagonales, les deux sommets opposés et les points où arrivent les deux autres diagonales forment une division harmonique. La source historique associe son étude à Ménélaüs dès le II^e siècle, puis à Pappus d'Alexandrie.

Prenons A de coordonnées (0 ; 0), B(4 ; 0), C(3 ; 2) et D(0 ; 1). Les quatre côtés prolongés sont les droites (AB), (BC), (CD) et (AD).

1. Leurs équations sont :

2. L'intersection E de (AB) et (CD) vaut E(−3 ; 0). L'intersection F de (AD) et (BC) vaut F(0 ; 8). Avec A, B, C et D, on compte bien six sommets distincts.

3. Les trois diagonales sont (AC), (BD) et (EF). Sur (AC), leur intersection avec (BD) est P(12/11 ; 8/11), et leur intersection avec (EF) est Q(−4 ; −8/3).

4. Paramétrons (AC) par un nombre t, avec A pour t = 0 et C pour t = 1. On obtient t_P = 4/11 et t_Q = −4/3. Le birapport se recalcule exactement :La valeur −1 confirme que P et Q partagent harmoniquement la diagonale (AC).

Pour reconnaître la configuration dans un dessin, prolongez les quatre droites et comptez leurs intersections deux à deux. Six points distincts signalent la situation générale ; un point commun à trois droites ou une paire parallèle oblige à traiter un cas dégénéré.

Pour construire les diagonales, associez les sommets qui ne se trouvent ensemble sur aucun côté. Reliez ensuite les trois paires obtenues. Ce critère évite de choisir une diagonale par simple ressemblance avec le quadrilatère convexe central.

Pour contrôler une division harmonique, placez une coordonnée sur la diagonale étudiée et calculez le birapport des quatre points. La valeur exacte −1 est le test décisif ; une lecture approximative du dessin ne suffit pas.

Quadrilatère complet et quadrilatère convexe. Le quadrilatère convexe retient quatre sommets et quatre segments de bord. Le quadrilatère complet conserve les quatre droites entières et leurs six intersections. Dans l'exemple, E et F appartiennent donc au second, mais pas au contour convexe ABCD.

Quadrilatère complet et quadrangle complet. Le premier part de quatre droites et produit six points d'intersection. Le second, notion duale, part de quatre points distincts, dont aucun triplet n'est aligné, et considère les six droites qui les joignent. Le type des quatre éléments de départ tranche immédiatement.

Deux droites parallèles. Leur intersection n'est pas un point fini du plan affine : on ne retrouve plus les six sommets finis exigés par la définition source. Il faut soit exclure ce tracé, soit annoncer explicitement un cadre projectif.

Trois droites concourantes. Trois intersections deux à deux se confondent alors en un seul point. Le symptôme est immédiat : le comptage ne donne plus six sommets distincts. Il faut choisir quatre droites en position générale.

Diagonale choisie à l'œil. Les diagonales ne sont pas simplement les deux segments intérieurs familiers d'un quadrilatère. Chacune joint une paire de sommets opposés, ce qui donne trois diagonales : (AC), (BD) et (EF).

Mesure sur une figure non à l'échelle. Une apparence symétrique ne prouve pas l'harmonicité. Il faut calculer le birapport avec des coordonnées orientées et vérifier qu'il vaut exactement −1.

Division harmonique — Pour interpréter le birapport égal à −1 qui apparaît sur chaque diagonale.

Géométrie projective — Pour replacer les intersections et l'harmonicité dans leur cadre naturel.

Ménélaüs — Pour prolonger la mention historique conservée dans la définition de référence.