théorème du papillon

Tracez une corde dans un cercle et marquez son milieu. Faites ensuite passer deux autres cordes par ce point : leurs extrémités dessinent quatre ailes. En croisant ces extrémités deux à deux, les nouvelles droites coupent la première corde en deux points. Le théorème affirme que ces points se placent à la même distance du milieu initial.

Le même nom désigne aussi un autre résultat : deux droites se coupent en O, la première portant A et B, la seconde C et D. On choisit un sens positif sur chacune. Le parallélisme de AC et BD équivaut alors à une égalité signée ; il équivaut à l'égalité des aires usuelles des ailes AOD et COB seulement si A et B sont du même côté de O exactement lorsque C et D le sont. Cette disposition n'est pas celle d'un quadrilatère concave simple ABCD. La forme de la figure explique dans les deux cas le mot « papillon ».

Le nom « théorème du papillon » recouvre deux résultats de géométrie plane. Le premier porte sur des aires. Deux droites sécantes en O portent respectivement A, B et C, D. En les orientant et en notant a, b, c et d les abscisses algébriques de ces points depuis O, les droites AC et BD sont parallèles si et seulement si ad = bc. Si les produits ab et cd ont le même signe — autrement dit, si A et B sont du même côté de O exactement lorsque C et D le sont —, cette relation équivaut à l'égalité des aires usuelles des triangles AOD et COB. Cette configuration n'est pas celle d'un quadrilatère concave simple ABCD, pour lequel cette condition de signe n'est pas satisfaite.

Le second résultat, souvent nommé butterfly theorem, porte sur des milieux. Dans un cercle, AB est une corde et I son milieu. Deux autres cordes, CD et EF, passent par I. La droite FC rencontre la droite AB en M, tandis que la droite DE la rencontre en N. Le point I est le milieu du segment MN. En croisant les extrémités dans l'autre sens, les droites FD et CE rencontrent AB en P et Q, et I est aussi le milieu de PQ.

Dans ces énoncés, une corde est un segment dont les extrémités appartiennent au cercle. Les points M, N, P et Q sont cherchés sur la droite portant AB ; ils ne sont pas nécessairement tous situés entre A et B. La source attribue une solution du second théorème à William Wallace en 1805, puis une solution indépendante à Horner en 1815.

Dans un cercle, si I est le milieu d'une corde AB et si les cordes CD et EF passent par I, alors les intersections M = AB ∩ FC et N = AB ∩ DE sont symétriques par rapport à I. Autrement dit, I est le milieu de MN.

L'autre croisement donne la même conclusion : si P = AB ∩ FD et Q = AB ∩ CE, alors I est le milieu de PQ. Pour l'autre théorème portant ce nom, on oriente les deux droites sécantes en O et l'on note a, b, c et d les abscisses algébriques de A, B, C et D. Alors AC ∥ BD si et seulement si ad = bc. On peut remplacer cette relation signée par l'égalité des aires usuelles des ailes AOD et COB seulement lorsque ab et cd ont le même signe.

Pour la version dans le cercle, trois conditions se vérifient dans la représentation : A et B sont sur un même cercle, I est exactement le milieu de la corde AB, et les deux cordes CD et EF passent toutes deux par I. Les droites croisées doivent en outre rencontrer la droite AB pour que M, N, P et Q soient définis. La conclusion porte sur des milieux, pas sur une égalité de longueurs entre les ailes.

Si I est seulement un point quelconque de AB, la symétrie de M et N autour de I n'est plus garantie. Il faut alors calculer directement les intersections, sans invoquer le théorème. Dans la version portant sur les aires, le point O est l'intersection de AB et CD. Après avoir orienté ces deux droites, si a, b, c et d sont les abscisses algébriques respectives de A, B, C et D depuis O, le parallélisme de AC et BD équivaut à ad = bc. L'égalité des aires usuelles n'équivaut à ce parallélisme que si ab et cd ont le même signe ; cette hypothèse ne décrit pas un quadrilatère concave simple ABCD.

Plaçons-nous dans un repère. Le cercle a pour centre l'origine et pour rayon 5. La corde AB relie A(−4 ; 3) à B(4 ; 3), donc son milieu est I(0 ; 3). Les deux autres cordes relient C(0 ; 5) à D(0 ; −5), puis E(3 ; 4) à F(−24/5 ; 7/5).

1. Les six extrémités appartiennent au cercle, car leurs coordonnées vérifient x² + y² = 25. Les droites CD et EF passent par I.

2. La droite FC coupe AB, d'équation y = 3, au point M. Le calcul d'intersection donne : $M=(-\frac{8}{3},3)M=\backslash left(-\backslash frac\{8\}\{3\},3\backslash right)$.

3. La droite DE coupe AB au point N. Le même calcul donne : $N=(\frac{8}{3},3)N=\backslash left(\backslash frac\{8\}\{3\},3\backslash right)$. La construction permet de suivre les deux droites croisées jusqu'à ces intersections.

4. Le milieu de M et N a pour coordonnées : $(\frac{-8\mathrm{/}3+8\mathrm{/}3}{2},\frac{3+3}{2})=(0,3)=I\backslash left(\backslash frac\{-8/3+8/3\}\{2\},\backslash frac\{3+3\}\{2\}\backslash right)=(0,3)=I$. Le théorème est donc vérifié sur cet exemple.

5. Avec l'autre croisement, FD et CE coupent la droite AB en P(−6 ; 3) et Q(6 ; 3). Leur milieu vaut encore I(0 ; 3). Ce contrôle montre aussi que P et Q peuvent se trouver hors du segment AB.

Dans un problème de construction, le théorème remplace deux mesures : dès que le milieu I de la corde AB et les deux cordes passant par I sont établis, trouver M suffit pour placer N par symétrie centrale autour de I.

Dans une figure tracée au compas, les longueurs IM et IN peuvent sembler légèrement différentes. On préfère alors contrôler les hypothèses géométriques plutôt que conclure à partir d'une mesure imprécise.

Pour une configuration donnée par des coordonnées, le calcul analytique reste l'alternative utile : on détermine M et N, puis on calcule leur milieu. Cette voie est préférable si l'on ne sait pas si I est bien le milieu de AB.

Le premier théorème du papillon compare les aires de deux triangles et se reconnaît à la présence de droites parallèles. Le second théorème se déroule dans un cercle et conclut qu'un point est le milieu de deux segments. Une figure circulaire tranche donc immédiatement entre les deux énoncés.

Le lemme du papillon, aussi appelé lemme de Zassenhaus, appartient à la théorie des groupes. Il ne traite ni de cordes d'un cercle ni d'aires triangulaires : la présence de groupes et de sous-groupes indique qu'il s'agit de cet autre résultat.

Les intersections sont prises avec la droite AB, non nécessairement avec la seule corde comprise entre A et B. Dans l'exemple, P(−6 ; 3) et Q(6 ; 3) sont extérieurs au cercle, alors que A et B ont pour abscisses −4 et 4. Il faut prolonger AB au lieu de déclarer ces intersections inexistantes.

Une configuration dégénée peut faire coïncider des droites ou supprimer une intersection finie avec AB. Le nom d'un point comme M ou N ne suffit alors plus à désigner une intersection unique ; il faut revenir aux hypothèses et traiter le cas séparément.

L'apparente symétrie d'un dessin n'est pas une hypothèse. Si I n'est pas exactement le milieu de AB, même un écart visuellement minime retire la garantie du théorème ; un calcul des intersections ou une construction exacte doit remplacer la simple lecture de la figure.

Un premier prolongement consiste à démontrer successivement les deux conclusions I milieu de MN et I milieu de PQ, en gardant les mêmes six points sur le cercle. La simplicité de ces conclusions contraste avec la difficulté signalée de leur démonstration.

L'histoire du second théorème fournit une autre piste : comparer la solution attribuée à William Wallace en 1805 à celle obtenue indépendamment par Horner en 1815. Pour le premier théorème, on peut chercher à établir les deux sens de l'équivalence entre aires égales et parallélisme.