centre du cercle exinscrit

Imaginez un triangle et un cercle qui touche ses trois côtés, mais qui se trouve en dehors de la surface triangulaire. Le centre de ce cercle est un excentre. Pour le trouver près du sommet A, on suit la bissectrice intérieure de l’angle A, puis les bissectrices extérieures des angles B et C. Ces trois droites se rencontrent au même point. Chaque sommet fournit ainsi son propre cercle exinscrit et son propre centre.

Dans un triangle ABC, le centre du cercle exinscrit associé à l’angle A est appelé l’excentre opposé à A, souvent noté I_A. Il appartient à la bissectrice intérieure de l’angle A et aux bissectrices extérieures des angles B et C. Une bissectrice intérieure partage un angle en deux angles égaux ; une bissectrice extérieure partage de la même manière l’angle formé par le prolongement d’un côté et l’autre côté. Ces trois bissectrices sont concourantes, c’est-à-dire qu’elles passent par un même point.

La distance de I_A à chacun des trois côtés, pris comme droites, est la même. Elle est donc le rayon du cercle tangent aux trois côtés. Le cercle est exinscrit parce que son centre et sa surface se situent à l’extérieur du triangle, même si le contact avec le côté opposé à A se fait sur ce côté. En changeant de sommet, on obtient exactement trois excentres et trois cercles exinscrits, un par sommet.

La structure repose sur six éléments liés. Le triangle possède trois sommets A, B et C, trois côtés et trois angles. La bissectrice intérieure de A fixe la direction vers l’excentre I_A. Les bissectrices extérieures de B et de C déterminent le même point depuis les deux autres sommets. Le cercle exinscrit a pour centre I_A et pour rayon la distance de I_A à l’un des côtés.

Les bissectrices ne sont pas des éléments indépendants : le choix du sommet A impose la bissectrice intérieure à utiliser, tandis que B et C imposent les deux bissectrices extérieures. Une fois leur intersection trouvée, une seule distance perpendiculaire suffit à construire le cercle. La forme et la position du triangle définissent l’objet ; sa couleur, son échelle de dessin et l’orientation de la feuille ne changent pas sa nature.

Considérons un triangle ABC presque équilatéral, avec A en haut, B et C sur une base horizontale. Pour notre construction, on utilise les coordonnées A = (250 ; 100), B = (100 ; 320) et C = (400 ; 320), en unités de dessin. Le côté BC mesure 300 unités et les deux autres côtés mesurent environ 266,27 unités.

La bissectrice intérieure de l’angle A est l’axe vertical passant par A et le milieu de BC, donc par le point (250 ; 320). Les bissectrices extérieures en B et C la rencontrent au point I_A ≈ (250 ; 603,82). La distance perpendiculaire de ce point à BC vaut environ 283,82 unités.

On trace donc le cercle de centre I_A et de rayon r ≈ 283,82 unités. Son point de contact avec BC est (250 ; 320), car le rayon correspondant est perpendiculaire à la base. Le contrôle consiste à mesurer la distance de I_A aux droites AB, BC et AC : les trois distances sont égales à environ 283,82 unités, à l’arrondi près.

Pour construire un cercle exinscrit à la règle et au compas, on commence par choisir le sommet auquel le cercle est associé. On trace la bissectrice intérieure de son angle et les bissectrices extérieures des deux autres angles, puis on utilise leur intersection comme centre.

Pour vérifier le tracé, on abaisse depuis le centre une perpendiculaire vers chacune des trois droites supports des côtés. Si les trois longueurs coïncident à la précision du dessin, le cercle tangent est correctement placé ; les pieds peuvent se trouver sur les prolongements des côtés. Une construction numérique permet de contrôler ces distances plus finement.

Lorsqu’on cherche le cercle associé à un autre sommet, on inverse le rôle des bissectrices : la bissectrice de ce sommet devient intérieure et les deux autres deviennent extérieures. Cette règle évite de choisir trois bissectrices du même type.

Le centre du cercle inscrit est l’intersection des trois bissectrices intérieures et se trouve à l’intérieur du triangle. Le centre du cercle exinscrit associé à A utilise une bissectrice intérieure, celle de A, mais deux bissectrices extérieures ; il se trouve hors du triangle. Un point situé à l’intérieur ne peut donc pas être l’excentre I_A.

Un triangle non dégénéré possède exactement trois excentres, mais un dessin peut en masquer un si le cercle sort de la zone représentée. Le symptôme est alors de croire que le triangle n’a qu’un seul cercle exinscrit. Il faut associer un cercle à chacun des trois sommets et accepter qu’une partie du cercle soit très éloignée du triangle.

Le contact avec un côté doit être compris au sens des droites supports. Pour l’excentre associé à A, le cercle touche le côté BC et les prolongements des côtés AB et AC ; il n’est pas tangent aux trois segments du triangle. Confondre segments et droites supports conduit à rejeter à tort la construction.

Dans l’exemple, I_A ≈ (250 ; 603,82) et le rayon vaut environ 283,82 unités. Ces valeurs sont des approximations issues des coordonnées choisies ; le signe ≈ rappelle qu’elles ne sont pas des égalités exactes. La propriété exacte porte sur l’égalité des trois distances au modèle géométrique idéal.

Pour replacer cette construction dans la notion de cercle tangent correspondant, consultez le glossaire cercle exinscrit. Vous y gagnerez une vue d’ensemble sur le cercle lui-même avant d’étudier le rôle précis de son centre et des bissectrices.