GéométrieNotion · Glossaire
point de Poncelet
Dans un faisceau de cercles non sécants, ou formé d'un cercle et d'une droite non sécants, les points de Poncelet sont les deux points de la droite des centres situés de part et d'autre de A, intersection avec l'axe radical, à une distance de A dont le carré égale la puissance commune de A par rapport au faisceau. Ils permettent notamment de caractériser la configuration : ils divisent harmoniquement le diamètre porté par la droite des centres de chaque cercle du faisceau.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Localiser A, I et J sur la droite des centres.
- Calculer AI et AJ à partir de la puissance de A.
- Contrôler la division harmonique sur un exemple numérique exact.
- Distinguer les cas non sécant, sécant, tangent et concentrique.
En clair
Imaginez deux cercles séparés, alignés comme deux roues qui ne se touchent pas. Entre eux passe une droite dont chaque point a la même puissance par rapport aux deux cercles : leur axe radical. Cette droite coupe la ligne des centres en un point A.
À partir de A, une même distance, portée dans les deux sens sur la ligne des centres, place deux points I et J. Ce sont les points de Poncelet, ou points-limites. Ils encadrent une zone où aucun centre des cercles du faisceau ne peut se trouver.
Définition
Un faisceau de cercles coaxal est une famille de cercles partageant le même axe radical, et ses centres sont alignés sur une droite perpendiculaire à cet axe. Dans le cas non sécant considéré ici, l'axe radical D ne rencontre aucun cercle du faisceau. Le point A est l'intersection de D avec la droite des centres. La puissance de A a la même valeur positive pour tous les cercles de la famille.
Les deux points de Poncelet I et J se trouvent sur la droite des centres, de part et d'autre de A. Si O est le centre d'un cercle du faisceau et r son rayon, leur définition s'écrit . La quantité commune est la puissance de A par rapport à ce cercle. Pour chaque cercle, I et J forment une division harmonique avec les extrémités du diamètre porté par la droite des centres. En particulier, aucun centre O ne se situe strictement entre I et J.
Cette configuration caractérise le type non sécant à deux points-limites réels. Elle se distingue des faisceaux dont les cercles ont deux points de base communs et des faisceaux tangents, où les deux points-limites se confondent. La même idée s'étend au faisceau déterminé par un cercle et une droite qui ne se coupent pas.
Un exemple, pas à pas
Sur une droite graduée, considérons deux cercles de même rayon. Les données sont :
• le premier centre O₁ a pour abscisse 0 et son rayon vaut 3 ;
• le second centre O₂ a pour abscisse 10 et son rayon vaut 3.
• le premier centre O₁ a pour abscisse 0 et son rayon vaut 3 ;
• le second centre O₂ a pour abscisse 10 et son rayon vaut 3.
1. Puisque les rayons sont égaux, l'axe radical est la médiatrice des deux centres. Il coupe leur droite en A, d'abscisse 5.
2. La puissance de A par rapport au premier cercle vaut AO₁² − 3² = 5² − 3² = 16.
3. Les distances AI et AJ valent donc √16 = 4. Les abscisses des points-limites sont 5 − 4 = 1 pour I et 5 + 4 = 9 pour J.
4. Pour contrôler la division harmonique, prenons les extrémités U et V du diamètre du premier cercle : leurs abscisses sont −3 et 3. Le birapport vaut bien −1 :
Le second cercle fournit le même contrôle par symétrie. Ses centres d'abscisses 0 et 10 restent bien hors de l'intervalle ouvert compris entre I et J.
En pratique
Pour construire les points-limites de deux cercles non sécants et non concentriques d'un même faisceau, on détermine d'abord leur axe radical. Son intersection A avec la droite des centres donne l'origine des deux distances égales AI et AJ.
Pour reconnaître le type du faisceau, on observe les intersections. Deux points communs conduisent à des points de base ; un unique point commun conduit au cas tangent ; l'absence d'intersection, avec une puissance positive en A, conduit aux deux points de Poncelet réels.
Pour vérifier un tracé, on choisit un cercle de la famille et son diamètre sur la droite des centres. Le birapport de ses extrémités avec I et J doit être égal à −1. Ce contrôle évite de se fier à la seule symétrie apparente du dessin.
À ne pas confondre
Points de base. Ils sont communs à tous les cercles d'un faisceau sécant et appartiennent à chaque cercle. Les points de Poncelet, eux, sont portés par la droite des centres d'un faisceau non sécant. Deux intersections communes visibles tranchent en faveur des points de base.
Point de tangence d'un faisceau tangent. Lorsque tous les cercles passent par un même point avec une tangente commune, il n'existe qu'un point double. Deux points distincts I et J, associés à une puissance strictement positive en A, signalent au contraire le cas de Poncelet.
Axe radical. L'axe radical est une droite de points ayant même puissance par rapport aux cercles ; les points de Poncelet sont deux points particuliers de la droite des centres. Dans l'exemple, D passe par A d'abscisse 5, tandis que I et J ont pour abscisses 1 et 9.
Limites et pièges
Puissance nulle. Si la puissance commune de A vaut 0, alors AI = AJ = 0 : I et J se confondent avec A. Le symptôme est un faisceau tangent, qu'il faut traiter comme le cas charnière à un point double plutôt que comme deux points-limites distincts.
Puissance négative. Si l'axe radical coupe les cercles, la puissance en A est négative et aucune distance réelle AI ne peut avoir ce carré. On emploie alors les deux points de base réels du faisceau, et non des points de Poncelet réels.
Cercles concentriques. Deux cercles concentriques distincts n'ont pas d'axe radical fini : l'égalité de leurs puissances n'est satisfaite par aucun point du plan euclidien. La construction de A, I et J décrite ici ne s'applique donc pas sans passer à une géométrie étendue.
Diamètre concerné. La division harmonique porte sur le diamètre situé sur la droite des centres. Un diamètre oblique n'est pas aligné avec I et J et ne forme donc pas avec eux un quadruplet harmonique sur une même droite.
Pour aller plus loin
Le faisceau de cercles replace les points-limites parmi les trois configurations coaxales et précise ce qui reste commun à toute la famille.
L'axe radical explique pourquoi le point A possède la même puissance par rapport à chaque cercle du faisceau.
La division harmonique donne le langage projectif de la propriété vérifiée par les extrémités d'un diamètre, I et J.
La puissance d'un point par rapport à un cercle détaille le calcul qui transforme la position de A en distance jusqu'aux deux points-limites.
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