problèmes de Landau

Prenez quelques nombres premiers : 3 et 7 donnent 10, tandis que 11 et 13 sont séparés par 2. Ces petits essais illustrent deux des quatre questions rassemblées par Edmund Landau en 1912. Les deux autres cherchent un nombre premier entre deux carrés consécutifs, ou parmi les nombres n² + 1.

Le défi n'est pas de trouver quelques exemples. Chaque conjecture affirme qu'un phénomène continue toujours, ou se reproduit une infinité de fois. Aucun des quatre énoncés n'est encore démontré.

Les problèmes de Landau forment une liste de quatre conjectures sur les nombres premiers, présentée par Edmund Landau au Congrès International des Mathématiciens de Cambridge en 1912. Une conjecture est ici un énoncé proposé comme vrai, mais qui demeure à démontrer.

La conjecture de Goldbach porte sur chaque entier pair strictement supérieur à 2 : il devrait être la somme de deux nombres premiers. La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers p pour lesquels p + 2 est aussi premier.

Dans les deux derniers énoncés, n désigne un entier positif. La conjecture de Legendre demande au moins un nombre premier strictement compris entre les carrés consécutifs n² et (n+1)². La quatrième conjecture affirme qu'il existe une infinité d'entiers positifs n pour lesquels n² + 1 est premier. Les quatre problèmes ont des formes différentes : deux portent sur une infinité, deux imposent une propriété pour chaque entier de leur domaine. D'après la définition de référence, aucun n'est résolu.

Vérifions un cas de chaque énoncé. Le but est de lire correctement les quatre conjectures, pas de les démontrer.

Données :
entier pair : 10 ;
nombre premier choisi : p = 11 ;
carrés consécutifs : 3² = 9 et 4² = 16 ;
entier choisi pour n² + 1 : n = 4.

1. Pour Goldbach, 10 = 3 + 7, et 3 comme 7 sont premiers.
2. Pour les nombres premiers jumeaux, p + 2 = 11 + 2 = 13 ; 11 et 13 sont premiers.
3. Pour Legendre, 11 est premier et vérifie 9 < 11 < 16.
4. Pour la forme n² + 1, 4² + 1 = 17, qui est premier.

Le contrôle se refait en testant les diviseurs premiers qui ne dépassent pas la racine carrée de chaque nombre examiné. Ces quatre réussites confirment seulement quatre cas particuliers ; elles ne prouvent ni une affirmation valable pour tout entier ni l'existence d'une infinité de cas.

Pour reconnaître le problème concerné, observez la forme de la question. La représentation d'un entier pair strictement supérieur à 2 comme somme de deux nombres premiers renvoie à Goldbach ; un écart de 2 entre deux premiers renvoie aux nombres premiers jumeaux.

Lorsque deux carrés consécutifs encadrent un intervalle, le test pertinent est celui de Legendre. Lorsque l'expression examinée est n² + 1, il s'agit du quatrième problème.

Un calcul sur de petites valeurs sert à vérifier que l'énoncé a été compris ou à chercher un contre-exemple. Pour savoir si la question est résolue, ce calcul ne suffit pas : il faut distinguer les exemples d'une démonstration générale.

Les problèmes de Landau ne désignent pas la seule conjecture de Goldbach. Une question sur la somme de deux premiers vise Goldbach ; une question sur un intervalle entre carrés vise Legendre.

La conjecture de Goldbach et celle des nombres premiers jumeaux font toutes deux intervenir deux premiers. Le critère tranche : Goldbach fixe leur somme, tandis que les jumeaux fixent leur différence à 2.

Une conjecture n'est pas un théorème démontré. Des exemples conformes, comme 10 = 3 + 7, soutiennent l'énoncé mais ne changent pas son statut.

Le seuil de Goldbach compte. L'énoncé porte sur les entiers pairs strictement supérieurs à 2. Appliquer le test à 2 sort de son domaine ; il faut d'abord contrôler cette condition.

« Entre » exclut les bornes. Pour Legendre avec n = 3, le nombre premier cherché doit vérifier 9 < p < 16. Les carrés 9 et 16 ne comptent pas ; 11 ou 13 convient.

n² + 1 n'est pas toujours premier. Avec n = 3, on obtient 10, qui est composé. Ce constat ne réfute pas le quatrième problème, car celui-ci affirme l'existence d'une infinité de valeurs premières, et non la primalité pour tout n.

Une longue liste reste finie. Vérifier beaucoup de valeurs ne prouve aucune des quatre conjectures. Un contre-exemple suffirait à réfuter les affirmations universelles ; pour les affirmations d'infinitude, l'absence de nouveau cas dans une recherche bornée ne suffit pas à conclure.

Le glossaire conjecture de Goldbach isole l'énoncé sur les décompositions des entiers pairs.

La fiche nombres premiers jumeaux approfondit la question des couples de premiers séparés par 2.

Le glossaire nombre premier revient sur l'objet commun aux quatre problèmes.

L'article Une passion pour la conjecture de Goldbach prolonge l'une des quatre questions dans un format éditorial.