multiplication à l'égyptienne

Pour calculer 25 × 7, imaginez deux colonnes. Dans la première, on double 1 jusqu'à atteindre 16 : 1, 2, 4, 8, 16. Dans la seconde, on double 7 au même rythme : 7, 14, 28, 56, 112.

Comme 25 se compose de 16, 8 et 1, on garde les valeurs placées en face : 112, 56 et 7. Leur somme vaut 175. La multiplication à l'égyptienne remplace ainsi un produit par une suite de doubles et une addition finale.

La multiplication à l'égyptienne est une méthode arithmétique attestée dans l'Égypte antique, notamment par le papyrus Rhind. Pour deux entiers naturels, elle décompose l'un des facteurs en somme de puissances de 2 distinctes. Elle associe ensuite à ces puissances les doubles successifs de l'autre facteur, puis additionne seulement les lignes retenues. Dans le calcul 25 × 7, le premier facteur joue le rôle du facteur décomposé et le second celui du facteur doublé.

La décomposition et la somme correspondante s'écrivent : Pour les entiers naturels, cette sélection est déterminée par la décomposition binaire du facteur choisi. La méthode historique s'étend aussi aux fractions. Dans l'exemple donné par le papyrus Rhind, le facteur 7/4 est décomposé en 1 + 1/2 + 1/4 ; les parts correspondantes de 1/14 sont 1/14, 1/28 et 1/56, dont la somme vaut exactement 1/8.

On cherche le produit de 25 par 7 en ne réalisant que des doubles et une addition finale.

Données.
Le facteur à décomposer est 25.
Le facteur à doubler est 7.

1. On double simultanément les deux valeurs de départ : aux puissances 1, 2, 4, 8 et 16 correspondent 7, 14, 28, 56 et 112.

2. On décompose 25 sans répétition : 25 = 16 + 8 + 1. Les lignes 16, 8 et 1 sont donc retenues ; les lignes 2 et 4 sont écartées.

3. On additionne les valeurs associées aux lignes retenues : $112+56+7=175112+56+7=175$. La sélection des doubles suffit à rendre le calcul vérifiable d'un regard.

Le résultat est donc 25 × 7 = 175.

Contrôle. La distributivité redonne 20 × 7 + 5 × 7 = 140 + 35 = 175. On peut aussi vérifier que les indices sélectionnés totalisent bien 25 avant d'additionner leurs doubles.

Pour un calcul mental comme 25 × 7, la méthode est utile lorsque doubler est plus naturel que réciter une table. Si la multiplication posée est déjà immédiate, elle sera souvent plus courte.

Pour expliquer un algorithme, les lignes 1, 2, 4, 8, 16 rendent visible la décomposition binaire d'un entier. On choisit cette présentation lorsque l'objectif est de comprendre pourquoi certains doubles sont additionnés.

Pour suivre un calcul fractionnaire du papyrus Rhind, on peut décomposer 7/4 en 1 + 1/2 + 1/4, puis additionner 1/14, 1/28 et 1/56. Un calcul direct est plus rapide ; la décomposition conserve l'intérêt historique du procédé.

Multiplication posée. Elle forme des produits partiels à partir des chiffres du multiplicateur. La multiplication à l'égyptienne ne demande que des doubles et leur somme. Pour 25 × 7, la présence des lignes 1, 2, 4, 8 et 16 signale la méthode égyptienne.

Fraction égyptienne. Cette expression désigne une écriture fractionnaire, tandis que la multiplication à l'égyptienne est une procédure de calcul. Le produit 1/14 × 7/4 emploie des fractions, mais son résultat 1/8 reste le résultat d'une multiplication.

Facteur nul. Si le facteur décomposé vaut 0, aucune puissance de 2 n'est retenue et la somme finale vaut 0. Ajouter malgré tout la première ligne donnerait à tort l'autre facteur.

Entiers négatifs. La procédure historique décrite ici porte sur des quantités non négatives. Pour un calcul moderne signé, on applique les doubles aux valeurs absolues, puis on détermine séparément le signe du produit.

Ligne mal sélectionnée. Le symptôme est que les puissances choisies ne totalisent pas le facteur décomposé. Avant d'additionner 112, 56 et 7, il faut donc contrôler l'égalité exacte 16 + 8 + 1 = 25.

Fractions. La décomposition 7/4 = 1 + 1/2 + 1/4 utilise aussi des moitiés. Il ne faut pas lui appliquer mécaniquement la seule liste entière 1, 2, 4, 8, … ; on conserve les parts fractionnaires annoncées, puis on vérifie leur somme.

L'écriture binaire éclaire la sélection des puissances de 2 qui composent le facteur.

La notion d'algorithme replace les doubles, la sélection et l'addition dans une suite d'opérations finie.

La fraction égyptienne prolonge le contexte historique du calcul fractionnaire cité dans le papyrus Rhind.