multiplication à la russe

Pour calculer 27 × 14, écrivez 27 face à 14. Doublez 27 pendant que vous divisez 14 par 2 en ne gardant que la partie entière. Les deux colonnes deviennent 54 et 7, puis 108 et 3, puis 216 et 1.

Barrez la ligne dont le nombre de droite est pair. Additionnez les nombres de gauche placés face aux nombres impairs : 54 + 108 + 216 = 378. Les impairs indiquent les morceaux de 14 écrits avec des puissances de 2.

La multiplication à la russe est un algorithme pour multiplier deux entiers à l'aide de doublements, de divisions entières par 2 et d'additions. Dans la convention suivie ici, le facteur de gauche est doublé et celui de droite est divisé par 2. Choisir le plus grand facteur à gauche et le plus petit à droite réduit habituellement le nombre de lignes, mais échanger les facteurs ne change pas le produit.

À chaque ligne, on conserve le nombre de gauche si le nombre de droite est impair, puis on poursuit jusqu'à ce que celui-ci vaille 1. La somme des nombres conservés donne le produit ; la dernière ligne, associée à 1, y figure une seule fois. Le procédé fonctionne parce que les restes successifs de la division par 2 sont les chiffres 0 ou 1 de l'écriture binaire du facteur de droite.

Pour 27 × 14, les restes de droite sont 0, 1, 1 et 1, ce qui correspond à 14 = 8 + 4 + 2. Les nombres conservés sont donc 27 × 2, 27 × 4 et 27 × 8. Géométriquement, ces opérations conservent l'aire : un rectangle de 14 rangées de 27 unités peut être coupé et recollé en groupes deux fois plus longs jusqu'à réunir les rangées retenues.

Calculons 27 × 14. Les données sont les deux entiers positifs 27 et 14 ; 27 occupe la colonne doublée, 14 la colonne divisée par 2.

1. Écrivons les quatre lignes :
27 — 14, pair : ligne écartée.
54 — 7, impair : 54 conservé.
108 — 3, impair : 108 conservé.
216 — 1, impair : 216 conservé. La figure rend visibles les trois lignes qui contribuent au résultat.

2. Additionnons une seule fois les nombres de gauche des lignes impaires :

3. Contrôlons par la décomposition binaire de 14 : 14 = 8 + 4 + 2. Alors 27 × 14 = 27 × 8 + 27 × 4 + 27 × 2 = 216 + 108 + 54 = 378. Le calcul direct 27 × (10 + 4) = 270 + 108 = 378 fournit un second contrôle.

Sur papier, placez de préférence le plus petit entier dans la colonne divisée : le nombre de lignes dépend du nombre de divisions nécessaires pour atteindre 1. Si l'autre choix produit moins de divisions, échangez simplement les facteurs.

Pour vérifier une exécution, lisez les parités de haut en bas. Chaque ligne impaire doit fournir exactement un terme à la somme et chaque ligne paire doit être absente. Si une valeur a été comptée deux fois, refaites le marquage avant l'addition.

Pour expliquer le lien avec le binaire, notez les restes des divisions successives. S'ils sont lus de la dernière ligne vers la première, ils reconstruisent le facteur divisé ; pour 14, on obtient 1110 en base 2.

Multiplication posée. La multiplication posée décompose un facteur selon ses chiffres décimaux et produit des produits partiels par 1, 10, 100, etc. La multiplication à la russe ne lit que la parité et les divisions par 2. Pour 27 × 14, la première forme utilise 10 + 4 ; la seconde utilise 8 + 4 + 2.

Écriture binaire du produit. Les 0 et 1 relevés dans la colonne divisée codent le facteur, ici 14, et non le résultat 378. Le produit est obtenu en additionnant les multiples doublés correspondants ; sa propre écriture binaire demanderait une conversion séparée.

Facteur nul. Si le facteur divisé vaut 0, il ne faut pas chercher à atteindre 1 : le produit vaut immédiatement 0. Continuer la procédure signalerait un point d'arrêt mal défini.

Entiers négatifs. La procédure décrite porte directement sur des entiers positifs. Avec un facteur négatif, les conventions de division entière et de parité compliquent les lignes ; travaillez sur les valeurs absolues, puis appliquez la règle des signes au résultat.

Nombres non entiers. Une entrée comme 2,5 n'a pas de parité dans la procédure décrite, qui exige des entiers. Multipliez chaque facteur décimal par une puissance de 10 suffisante pour obtenir des entiers, appliquez l'algorithme, puis divisez le produit par le produit de ces deux puissances.

Dernière ligne comptée deux fois. Quand la colonne divisée atteint 1, cette ligne est impaire et appartient déjà aux lignes conservées. Dans 27 × 14, 216 entre une seule fois dans 54 + 108 + 216 ; obtenir 594 révèle un double comptage.

algorithme — Situer cette suite finie d'opérations parmi les procédures qui transforment des données en un résultat.

La numération binaire pour représenter des données — Approfondir l'écriture en 0 et 1 qui commande la sélection des multiples doublés.

arithmétique — Replacer les opérations sur les entiers et leurs propriétés dans leur domaine mathématique.