Facteurs invariants

Une matrice d’entiers peut être simplifiée en combinant ses lignes et ses colonnes sans perdre l’information arithmétique qu’elle porte. Au bout du calcul, seuls quelques nombres restent sur une diagonale. Chacun divise le suivant.

Ces nombres sont les facteurs invariants. Ils forment une signature : deux matrices équivalentes ont la même liste, et cette liste décrit les morceaux cycliques du groupe quotient associé.

Soit une matrice à coefficients dans un anneau principal. Des opérations élémentaires inversibles sur ses lignes et ses colonnes la transforment en une matrice diagonale appelée forme normale de Smith. Ses entrées diagonales non nulles, notées d₁, d₂, …, d_r, sont choisies de sorte que chacune divise la suivante. Dans le cas d’une matrice entière, on les prend positives.

Le nombre r est le rang de la matrice sur le corps des fractions. La chaîne de divisibilité s’écrit $d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_{r}d\_1\backslash mid\; d\_2\backslash mid\backslash cdots\backslash mid\; d\_r$. À multiplication par une unité près, les nombres d_i sont déterminés de façon unique. Ils classent la matrice pour l’équivalence obtenue par multiplication à gauche et à droite par des matrices inversibles.

Pour une matrice entière carrée et de déterminant non nul, le quotient de ℤⁿ par l’image de la matrice est la somme directe des groupes cycliques ℤ/d_iℤ. Si le rang n’est pas maximal, des composantes libres s’ajoutent. Plus généralement, tout module de type fini sur un anneau principal se décompose en une partie libre et des quotients cycliques déterminés par ses facteurs invariants. Une terminologie plus précise distingue les facteurs invariants d_i des diviseurs élémentaires, qui sont les puissances de nombres premiers obtenues en factorisant ces facteurs.

On part d’une matrice entière à deux lignes et deux colonnes. Ses quatre coefficients sont 2, 4, 6 et 8 :Les opérations employées doivent être inversibles sur les entiers.

1. On remplace la seconde ligne par elle-même moins trois fois la première.
2. On remplace la seconde colonne par elle-même moins deux fois la première.
3. On change le signe de la seconde ligne.

La forme de Smith donne donc d₁ = 2 et d₂ = 4. Le contrôle est double : 2 divise 4, et leur produit 8 est la valeur absolue du déterminant de A, puisque |2 × 8 − 4 × 6| = 8. Le quotient associé est ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/4ℤ ; il contient 2 × 4 = 8 éléments. La figure synthétise ce passage sans remplacer les opérations du calcul.

Pour décrire un quotient de réseaux entiers, on calcule la forme de Smith de la matrice des relations. Les facteurs invariants donnent alors directement les composantes cycliques et, lorsque le rang est insuffisant, le nombre de composantes libres.

Pour décider si deux matrices entières sont équivalentes par opérations inversibles sur les lignes et les colonnes, on compare leurs formes de Smith. Si l’on autorise seulement un changement de base d’un seul côté, cette comparaison ne répond plus à la question.

Pour résoudre un système linéaire en nombres entiers, la diagonale de Smith sépare les conditions de divisibilité. Sur un corps, une réduction de Gauss suffit souvent ; sur ℤ, elle ne conserve pas à elle seule l’information arithmétique recherchée.

Facteurs invariants et diviseurs élémentaires. Les facteurs invariants forment une chaîne où chacun divise le suivant. Les diviseurs élémentaires sont les puissances de nombres premiers tirées de leur factorisation. Ainsi, les facteurs 2 et 12 donnent les diviseurs élémentaires 2, 4 et 3.

Facteurs invariants et valeurs propres. Les premiers sont définis par l’équivalence à gauche et à droite sur un anneau principal. Les secondes relèvent de la similarité sur un corps. La matrice de l’exemple a pour facteurs invariants 2 et 4, mais ces deux nombres ne sont pas ses valeurs propres.

Rang non maximal. Une diagonale terminée par des zéros signale que le quotient possède une partie libre. Il ne faut pas traiter zéro comme un facteur invariant fini ni conclure que le quotient contient un nombre fini d’éléments.

Unités de l’anneau. Sur ℤ, un facteur est déterminé au signe près ; la convention positive supprime cette ambiguïté. Sur un anneau principal général, il faut parler d’unicité à multiplication par une unité près.

Anneau non principal. La forme diagonale avec chaîne de divisibilité n’existe pas automatiquement. Si l’anneau n’est pas principal, il faut vérifier un théorème adapté au cadre considéré au lieu d’appliquer mécaniquement la forme de Smith.

Mauvaises opérations. Diviser une ligne par 2 n’est pas une opération inversible sur ℤ. Un tel geste peut changer le quotient ; seules les opérations dont l’inverse conserve des coefficients entiers préservent ici les facteurs invariants.

La suite naturelle consiste à relier chaque facteur invariant aux déterminants des mineurs de la matrice. Pour 1 ≤ k ≤ r, où r est le rang de la matrice, le plus grand diviseur commun des mineurs k × k vaut d₁⋯dₖ ; cette lecture offre un contrôle indépendant de la réduction.